מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/אינדוקציה מתמטית: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ מהי אינדוקציה? עריכת הדף באופן מקצועי יותר |
מ ←אינדוקציות של סכומים: תיקוני נוסח ו-LaTeX |
||
שורה 33:
===אינדוקציות של סכומים===
בהוכחות מסוג זה, צריך להראות שסכום של טור מסוים שווה לביטוי כלשהו.
פה
* נביט לדוגמה על הטענה הבאה:
<u>טענה<u\>: לכל <math>\ n </math>, סכומם של כל המספרים הטבעיים עד <math>\ n </math> נתון
כלומר, מדובר על סכום המספרים הטבעיים מ-1 עד n.▼
הטענה קיבלה הוכחה יפה ע"י גאוס עוד בילדותו, אבל זה לא המקום לדון על זה. ▼
<u>הוכחה<u\>:</br>
עלינו להוכיח שמתקיים:
<math>\ 1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2} </math>.
*שלב א: בדיקה: נבדוק את נכונות הטענה עבור <math>\ n=1 </math>:
<math>\ 1=\frac{1(1+1)}{2}=\frac{2}{2}=1 </math>, כלומר קיבלנו ש <math>\ \Leftarrow \ 1=1 </math>
הטענה נכונה עבור <math>\ n=1 </math>.
*שלב ב: הנחת האינדוקציה: נניח את נכונות הטענה עבור <math>\ n=k </math>, כלומר נניח שמתקיים
<math>\ 1+...+k=\frac{k(k+1)}{2} </math> עד ל- <math>\ k </math> מסויים.
*שלב ג: צעד האינדוקציה: נוכיח עבור <math>\ n=k </math>. במילים אחרות, עלינו להוכיח שמתקיים:
<math>\ 1+...+k+(k+1)=\frac{ \left(k+1 \right) \left( k+2\right)}{2} </math> </br>
כעת: ניעזר בהנחת האינדוקציה, ונכתוב:
<math>\ 1+...+k+(k+1)=\frac{k(k+1)}{2}+(k+1)</math>
כלומר למעשה עלינו להוכיח שמתקיים: <math>\ \star \ \frac{k(k+1)}{2}+(k+1) ^\star =\frac{ \left(k+1 \right) \left( k+2\right)}{2} \ </math>
אם <math>\ </math>, הרי שמתקיים גם: <math>\ \star\star \ k(k+1)+2(k+1)=(k+1)(k+2) </math>
</br>וכן נשים לב שמתקיים: <math>\ (k+1)(k+2)=k(k+1)+2(k+1) </math>
לכן מ- math<\ \star\star </math> נקבל: <math>\ k(k+1)+2(k+1)=k(k+1)+2(k+1) </math>.</br>
וקיבלנו שיוויון - מ.ש.ל.
הוכחנו טענה בסיסית שתעזור לנו בהוכחות יותר מורכבות, שבהן נוכל להתמש בה בלי לנמק איך הגענו אליה.▼
הרעיון שמאחורי הוכחות כאלו הוא:▼
▲הוכחנו טענה בסיסית שתעזור לנו בהוכחות יותר מורכבות, שבהן נוכל להתמש בה בלי לנמק איך הגענו אליה.
▲הרעיון שמאחורי הוכחות כאלו הוא:
▲ 1. לנסח את מה שצריך להוכיח נכון.
▲ 2. לסמן את הביטוי שמופיע בהנחת האינדוקציה ולהציב במקומו את ההנחה.
▲ 3. לבצע מספר פעולות חשבוניות עד לקבלת התוצאה המיוחלת.
לתרגול עצמי:
1.
<math>\ n*(2a_1+(n-1)d)</math>/2▼
▲<math>n*(2a_1+(n-1)d)</math>/2
▲ ב. חשב, בעזרת הנוסחה שהוכחת בסעיף א', את הסכום של 20 האיברים בסדרה- <div style="text-align:left; direction:ltr;">
===אינדוקציות של תכונות התחלקות===
|