מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/אינדוקציה מתמטית: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Superot (שיחה | תרומות)
מ מהי אינדוקציה? עריכת הדף באופן מקצועי יותר
Superot (שיחה | תרומות)
מ ←‏אינדוקציות של סכומים: תיקוני נוסח ו-LaTeX
שורה 33:
===אינדוקציות של סכומים===
בהוכחות מסוג זה, צריך להראות שסכום של טור מסוים שווה לביטוי כלשהו.
פה כברכמעט צריךולא להעזרניתן לפתור מבלי להיעזר בהנחת האינדוקציה, ולהציב את הביטוי שהתקבל במהויש שצריךלהשתמש להוכיחבה בשלב ג'.
* נביט לדוגמה על הטענה הבאה:
<u>טענה<u\>: לכל <math>\ n </math>, סכומם של כל המספרים הטבעיים עד <math>\ n </math> נתון בנוסחה-באמצעות הנוסחה: <divmath>\ style="text-align:left;\frac{n(n+1)}{2} direction:ltr;"</math>
n(n+1)/2
</div>
כלומר, מדובר על סכום המספרים הטבעיים מ-1 עד n.
הטענה קיבלה הוכחה יפה ע"י גאוס עוד בילדותו, אבל זה לא המקום לדון על זה.
להלן ההוכחה של הטענה (את ההסברים הוספתי באנגלית):
<div style="text-align:left; direction:ltr;">
We need to prove that- 1+2+...+n=n(n+1)/2.
 
כלומר, מדובר על סכום המספרים הטבעיים מ-1<math>\ n </math> עד n<math>\ 1 </math>.
-lets check the formaula for n=1: 1=1(1+1)/2=2/2=1 --> 1=1.
הטענה קיבלה הוכחה בצורה יפה ע"י [[w:גאוס]] עוד בילדותו, אבל זה לא כאן המקום לדון על זהכך. </br>
the check is correct for n=1.
<u>הוכחה<u\>:</br>
עלינו להוכיח שמתקיים:
<math>\ 1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2} </math>.
*שלב א: בדיקה: נבדוק את נכונות הטענה עבור <math>\ n=1 </math>:
<math>\ 1=\frac{1(1+1)}{2}=\frac{2}{2}=1 </math>, כלומר קיבלנו ש <math>\ \Leftarrow \ 1=1 </math>
הטענה נכונה עבור <math>\ n=1 </math>.
*שלב ב: הנחת האינדוקציה: נניח את נכונות הטענה עבור <math>\ n=k </math>, כלומר נניח שמתקיים
<math>\ 1+...+k=\frac{k(k+1)}{2} </math> עד ל- <math>\ k </math> מסויים.
*שלב ג: צעד האינדוקציה: נוכיח עבור <math>\ n=k </math>. במילים אחרות, עלינו להוכיח שמתקיים:
<math>\ 1+...+k+(k+1)=\frac{ \left(k+1 \right) \left( k+2\right)}{2} </math> </br>
כעת: ניעזר בהנחת האינדוקציה, ונכתוב:
<math>\ 1+...+k+(k+1)=\frac{k(k+1)}{2}+(k+1)</math>
כלומר למעשה עלינו להוכיח שמתקיים: <math>\ \star \ \frac{k(k+1)}{2}+(k+1) ^\star =\frac{ \left(k+1 \right) \left( k+2\right)}{2} \ </math>
אם <math>\ </math>, הרי שמתקיים גם: <math>\ \star\star \ k(k+1)+2(k+1)=(k+1)(k+2) </math>
</br>וכן נשים לב שמתקיים: <math>\ (k+1)(k+2)=k(k+1)+2(k+1) </math>
לכן מ- math<\ \star\star </math> נקבל: <math>\ k(k+1)+2(k+1)=k(k+1)+2(k+1) </math>.</br>
וקיבלנו שיוויון - מ.ש.ל.
 
הוכחנו טענה בסיסית שתעזור לנו בהוכחות יותר מורכבות, שבהן נוכל להתמש בה בלי לנמק איך הגענו אליה.
-Lets assume that for n=k, 1+...+k=k(k+1)/2 is correct.
הרעיון שמאחורי הוכחות כאלו הוא:
1.# לנסח את מה שצריך להוכיח נכון.
2.# לסמן את הביטוי שמופיע בהנחת האינדוקציה ולהציב במקומו את ההנחה.
3.# לבצע מספר פעולות חשבוניות עד לקבלת התוצאה המיוחלת.
 
-Now we need to prove that for n=k+1, 1+...+k+(k+1)=(k+1)×(k+2)/2 is correct.
The sun 1+...+k is, according to what we assumed, k(k+1)/2.
 
So- k(k+1)/2+(k+1)=(k+1)(k+2)/2.
 
we can reduce (k+1) from bouth sides, and then:
k/2+1=(k+2)/2.
 
After mulpiplying by 2 we'll get k+2=k+2.
The claim is correct.
</div>
הוכחנו טענה בסיסית שתעזור לנו בהוכחות יותר מורכבות, שבהן נוכל להתמש בה בלי לנמק איך הגענו אליה.
הרעיון שמאחורי הוכחות כאלו הוא:
1. לנסח את מה שצריך להוכיח נכון.
2. לסמן את הביטוי שמופיע בהנחת האינדוקציה ולהציב במקומו את ההנחה.
3. לבצע מספר פעולות חשבוניות עד לקבלת התוצאה המיוחלת.
 
לתרגול עצמי:
1.
א. הוכח באינדוקציה שהסכום של n איברים ראשונים של סדרה חשבונית הוא:
<math>\ n*(2a_1+(n-1)d)</math>/2
<div style="text-align:left; direction:ltr;">
ב. חשב, בעזרת הנוסחה שהוכחת בסעיף א', את הסכום של 20 האיברים בסדרה- <div style="text-align:left; direction:ltr;">1,3,5,....41
<math>n*(2a_1+(n-1)d)</math>/2
</div>
ב. חשב, בעזרת הנוסחה שהוכחת בסעיף א', את הסכום של 20 האיברים בסדרה- <div style="text-align:left; direction:ltr;">
1,3,5,....41
</div>
 
 
===אינדוקציות של תכונות התחלקות===