מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/אינדוקציה מתמטית: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מאין תקציר עריכה |
מ ←אינדוקציות של תכונות התחלקות: עריכת ושכתוב |
||
שורה 76:
הטריק באינדוקציות מהסוג הזה, הוא לשחק עם המספרים כך שיתקבל ביטוי שכולל את הנחת האינדוקציה וביטוי נוסף שלגביו צריך להוכיח שהחילוק שלו במספר הנתון ייתן מספר שלם.</br>
כמו-כן, רוב הזמן צריך לפרק מספרים או ביטויים כך שיתקבל ביטוי שיכלול את הנחת האינדוקציה.</br>
על מנת להבין איך כדאי להתמודד עם סוג כזה של אינדוקציות, נביט על <u>הטענה<
לכל <math>\ n </math> טבעי, הביטוי <math>\ 5^n-1</math> מתחלק ב-<math>\ 4 </math> ללא שארית.</br>
<u>הוכחה</u>:</br>
לכאורה, ההוכחה פשוטה למדי: פועלים על פי השלבים שצויינו למעלה, ומוכיחים. אך מיד נראה שאין זה פשוט כל כך:
*שלב א: בדיקה: נציב <math>\ n=1 </math> בביטוי שלמעלה, ונקבל: <math>\ \frac{5^1-1}{4}=\frac{5-1}{4}=1</math>: קיבלנו 1 שהוא מספר שלם.
*שלב ב': הנחת האינדוקציה
באינדוקציות
נתבונן בביטוי <math>\ \frac{5^{k+1}-1}{4}</math>: אפשר לפרק אותו ל- <math>\ \frac{5*5^k-1}{4}</math>.▼
</br>נפתח סוגרים: <math>\frac{4*5^k+5^k-1}{4}=\underbrace{\frac{5^k-1}{4}}_{\star}+\frac{4*5^k}{4}</math>. קיבלנו את הנחת האינדוקציה (מסומנת ב- <math>\ \star </math>, שהיא שלמה לכל מספר טבעי (כך הנחנו), ואת הביטוי <math>\ 5^k</math>, שהוא שלם לכל <math>\ k </math> טבעי.▼
▲באינדוקציות כאלו, כשמנסחים את מה שצריך להוכיח, תמיד כדאי לפרק את הביטוי שהתקבל לכפולות של הנחת האינדוקציה ולאיבר נוסף, שלגביו נוכיח את התכונה.
▲הנחת האינדוקציה- מתקיים עבור n=k, שהביטוי <math>\frac{5^k-1}{4}</math> הוא מספר שלם.
▲צריך להוכיח- עבור n=k+1, הביטוי <math>\frac{5^{k+1}-1}{4}</math> הוא מספר שלם.
▲אפשר לפרק אותו ל- <math>\frac{5*5^k-1}{4}</math>.
▲ניתן לרשום- 5=4+1, ואז מה שצריך להוכיח הוא- <math>\frac{5^k*(4+1)-1}{4}</math>.
▲נפתח סוגרים: <math>\frac{4*5^k+5^k-1}{4}=\frac{5^k-1}{4}+\frac{4*5^k}{4}</math>. קיבלנו את הנחת האינדוקציה, שהיא שלמה לכל מספר טבעי (כך הנחנו), ואת הביטוי <math>5^k</math>, שהוא שלם לכל k טבעי.
▲מסקנה- קיבלנו סכום של שני מספרים שלמים, וסכום כזה תמיד ייתן מספר שלם.
מש"ל.
| |||