מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/אינדוקציה מתמטית: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ ←אינדוקציות של תכונות התחלקות: עריכת ושכתוב |
מ ←מהי אינדוקציה?: עריכה נוספת(סליחה על ריבוי העריכות) |
||
שורה 9:
<u>להלן תמצית המבנה<u\>:</br>
בהוכחות באינדוקציה ישנם שלושה שלבים:
*שלב א': בסיס האינדוקציה: בדיקת הנוסחה למקרה פרטי (או למקרים פרטיים), שבו רואים את נכונות הטענה עבורו (או עבורם).
*שלב ב': הנחת האינדוקציה: בהתבסס על השלב הקודם, '''מניחים''' שעבור מספר כלשהו,<math>\ n=k </math>, הטענה נכונה ומנסחים את הטענה עבור אותו מספר.
*שלב ג': צעד האינדוקציה: מנסחים את הטענה עבור המספר העוקב <math>\ n=k+1 </math>, ו'''מוכיחים''' אותה. ניתן להעזר בהנחה לצורך ההוכחה, וברוב המקרים היא הכרחית.
לאחר ההוכחה, רושמים את המסקנה. ניתן לסיים אותה בכל דרך שתרצו (כמו מ.ש.ל או מש"ל, Q.E.D, שרטוט ריבוע קטן וכולי).
שורה 18:
הוכח שהביטוי <math>\ 2n^2+3n-4</math> חיובי לכל <math>\ n </math> טבעי.</br>
<u>פתרון<u/>:
* שלב א': בסיס האינדוקציה: בדיקה עבור <math>\ n=1 </math> (אם בתרגיל עלינו להוכיח שהטענה מתקיימת החל ממספר מסויים <math>\ p </math>, מתחילים את הבדיקה עבור <math>\ n=p </math>. מציבים במקום <math>\ n </math> בטענה את המספר עבורו בודקים, ולאחר ההצבה מקבלים: <math>\ 2n^2+3n-4= 2*1^2+3*1-4= 2+3-4=1</math> שהוא מספר חיובי. כלומר, הטענה נכונה עבור המקרה הפרטי של <math>\ n=1 </math>.
* שלב ב': הנחת האינדוקציה: אנו מניחים שעבור <math>\ n=k </math> , הביטוי <math>\ 2k^2+3k-4</math> חיובי. על מה מתבססת ההנחה שלנו? - על השלב הקודם, בו הראינו שהטענה נכונה עבור <math>\ n </math> מסויים.
* שלב ג:
נפתח סוגריים, נפשט את הביטוי ונקבל:</br>
<math>\ = 2(k^2+2k+1)+3(k+1)-4=2k^2+4k+2+3k+3-4= </math>
שורה 31:
<nowiki> * </nowiki>מסקנה: קיבלנו סכום של שני ביטויים חיוביים, שהוא תמיד חיובי. מש"ל.
===אינדוקציות של סכומים===
בהוכחות מסוג זה, צריך להראות שסכום של טור מסוים שווה לביטוי כלשהו.
שורה 43 ⟵ 42:
עלינו להוכיח שמתקיים:
<math>\ 1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2} </math>.
*שלב א:
<math>\ 1=\frac{1(1+1)}{2}=\frac{2}{2}=1 </math>, כלומר קיבלנו ש <math>\ \Leftarrow \ 1=1 </math>
הטענה נכונה עבור <math>\ n=1 </math>.
| |||