הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/רציפות/משפט ערך הביניים: הבדלים בין גרסאות בדף

 

<math>a\in A</math> ולכן זוהי קבוצה לא־ריקה, <math>b</math> חסם מלעיל שלה. על־פי אקסיומת השלמות של המספרים הממשיים יש לה חסם עליון <math>c</math> . נוכיח כי <math>f(c)=y</math> .

:מרציפות <math>f</math> נובע שבפרט עבור <math>\varepsilon=f(c)-y</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל <math>|x-c|<\delta</math> מתקיים

:בכל סביבה <math>(c-\delta,c)</math> יש אבר של <math>A</math> , ובפרט קיים בסביבה <math>x\in A</math> עבורו <math>f(x)>y</math> . סתירה.

:באופן דומה נובע שבפרט עבור <math>\varepsilon=y-f(c)</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל <math>|x-c|<\delta</math> מתקיים

:גם לכל <math>x\in(c,c+\delta)</math> התנאי מתקיים, וקיים <math>x>c</math> עבורו <math>f(x)<y</math> . סתירה.

לכן <math>f(c)=y</math> .