הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/רציפות/משפט ערך הביניים: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שורה 10:
 
<math>a\in A</math> ולכן זוהי קבוצה לא־ריקה, <math>b</math> חסם מלעיל שלה. על־פי אקסיומת השלמות של המספרים הממשיים יש לה חסם עליון <math>c</math> . נוכיח כי <math>f(c)=y</math> .
:מרציפות*נניח <math>f(c)>y</math> . מהרציפות נובע שבפרט עבור <math>\varepsilon=f(c)-y</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל <math>|x-c|<\delta</math> מתקיים
*נניח כי <math>f(c)>y</math> .
:מרציפות <math>f</math> נובע שבפרט עבור <math>\varepsilon=f(c)-y</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל <math>|x-c|<\delta</math> מתקיים
:<math display=block>\begin{matrix}\bigl|f(x)-f(c)\bigr|<f(c)-y\\\\{\color{red}y<f(x)}<2f(c)-y\end{matrix}</math>
:בכלאך סביבהלכל <math>x\in(c-\delta,c)</math> יש אבר של <math>A</math> , ובפרט קיים בסביבהמתקיים <math>x\in A</math> עבורו <math>f(x)>y</math> . סתירה.
:*נניח <math>f(c)<y</math> . באופן דומה נובע שבפרט עבור <math>\varepsilon=y-f(c)</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל <math>|x-c|<\delta</math> מתקיים
*נניח כי <math>f(c)<y</math> .
:באופן דומה נובע שבפרט עבור <math>\varepsilon=y-f(c)</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל <math>|x-c|<\delta</math> מתקיים
:<math display=block>\begin{matrix}\bigl|f(x)-f(c)\bigr|<y-f(c)\\\\2f(c)-y<{\color{red}f(x)<y}\end{matrix}</math>
:גםאך לכל <math>x\in(c,c+\delta)</math> התנאי מתקיים, וקיים <math>x>c</math>\notin עבורו <math>f(x)<yA</math> . סתירה.
לכן <math>f(c)=y</math> .