פונקציות מרוכבות/מספרים מרוכבים - חזרה: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה
מ החלפת קוד LaTeX מיושן mw:Extension:Math/Roadmap
שורה 3:
 
קבוצת המספרים המרוכבים מוגדרת:
:<math display=block>\CComplex=\{a+bi:a,b\in\R\}</math>
 
===חלק ממשי ומדומה===
שורה 14:
 
===המישור המרוכב===
אפשר לזהות בין נקודות ב־<math>\R^2</math> לבין <math>\CComplex</math> על־ידי זיהוי <math>a+bi</math> עם הזוג הסדור <math>(a,b)</math> . נשים לב שההתאמה הנ"ל היא חח"ע ועל.
 
===חיבור וכפל של מספרים מרוכבים===
ישנן שתי גישות להגדרת הכפל והחיבור במספרים המרוכבים. הדרך הראשונה היא להתייחס ל־<math>\CComplex</math> כקבוצת זוגות סדורים, ולהגדיר את הפעולות הבאות:
:<math display=block>\begin{matrix}(a_1,b_1)+(a_2,b_2)=(a_1+a_2,b_1+b_2)\\\\(a_1,b_1)\cdot(a_2,b_2)=(a_1a_2-b_1b_2,a_1b_2+a_2b_1)\end{matrix}</math>
הקבוצה והפעולות יחדיו מגדירות שדה.
 
דרך נוספת להגדיר את הפעולות הבינאריות על המספרים המרוכבים היא להגדיר את קבוצת המספרים המרוכבים בתור <math>\CComplex=\{a+bi:a,b\in\R\}</math> כפי שהוגדרה בתחילת הפרק. ואז, בשימוש באלגברה של מספרים ממשיים:
:<math display=block>\begin{matrix}(a_1+b_1i)+(a_2+b_2i)=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)i\\\\(a_1+b_1i)(a_2+b_2i)=a_1a_2+a_1b_2i+a_2b_1i+b_1b_2i^2=a_1a_2+a_1b_2i+a_2b_1i+b_1b_2(-1)=(a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+a_2b_1)i\end{matrix}</math>
ניתן לראות כי ההגדרות שקולות לחלוטין.
 
היתרון בהגדרת <math>\CComplex</math> כשדה, הוא שמתקיים בה המשפט היסודי של האלגברה: לכל פולינום ממעלה <math>n</math> במרוכבים יש '''בדיוק''' <math>n</math> שורשים. גרסתו של משפט זה במספרים הממשיים מבטיחה '''לכל היותר''' <math>n</math> שורשים.
 
===נורמה וארגומנט של מספר מרוכב===