פונקציות מרוכבות/טופולוגיה במישור: הבדלים בין גרסאות בדף

{{פונקציות מרוכבות}}

 

כשם שבאנליזה ממשית התעניינו בקטעים פתוחים וסגורים של הישר הממשי, באנליזה מרוכבת נתעניין בתת־קבוצות של המישור המרוכב שיש להן תכונות דומות.

{{הגדרה|מספר=|שם=כדור פתוח|תוכן=

הכדור הפתוח סביב המספר המרוכב <math>z_0</math> ברדיוס <math>r</math> הוא קבוצת המספרים המרוכבים

}}

 

{{הגדרה|מספר=|שם=כדור סגור|תוכן=

הכדור הסגור סביב המספר המרוכב <math>z_0</math> ברדיוס <math>r</math> הוא קבוצת המספרים המרוכבים

}}

קל לראות מאיפה מגיעה האינטואיציה להגדרה הנ"ל. הכדור הפתוח, הוא אוסף כל הנקודות שמרחקן מהנקודה <math>z_0</math> קטן יותר מ־<math>r</math> , לא כולל. הכדור הסגור הוא האיחוד של הכדור הפתוח עם השפה של הכדור. נגדיר מתמטית את הכוונה שלנו ב"שפת הכדור":

{{הגדרה|מספר=|שם=שפת כדור|תוכן=

שפת הכדור סביב המספר המרוכב <math>z_0</math> ברדיוס <math>r</math> היא קבוצת המספרים המרוכבים

}}

זהו בעצם המעגל סביב <math>z_0</math> שרדיוסו <math>r</math> .

 

הקשר בין ההגדרות הנ"ל הוא כדלהלן:

כעת נגיע להגדרות המרכזיות של הפרק הזה:

{{הגדרה|מספר=|שם=קבוצה פתוחה|תוכן=

:<math>B(z,r)\sube A</math>

}}

קל להבחין בעובדות הבאות בנוגע לקבוצות פתוחות:

{{טענה|מספר=|שם=תכונות יסודיות של קבוצות פתוחות|תוכן=

#אם <math>\{U_j\}_{j\in J}</math> אוסף כלשהו של קבוצות פתוחות, אזי <math>\bigcup_{j\in J}U_j</math> קבוצה פתוחה.

#אם <math>U,V</math> קבוצות פתוחות, אזי <math>U\cap V</math> קבוצה פתוחה.

קודם הגדרנו "כדור פתוח", השאלה האם השם שנתנו לו באמת מוצדק ביחס להגדרה החדשה? הטענה הבאה תראה שכן.

{{טענה|מספר=|שם=כדור פתוח הוא קבוצה פתוחה|תוכן=

}}

 

האינטואיציה האנושית אומרת שאם יש משהו פתוח, אז יש גם משהו סגור. ההגדרה הבאה תראה זאת:

{{הגדרה|מספר=|שם=קבוצה סגורה|תוכן=

}}

שים לב! קבוצות הן לא דלתות, קבוצה סגורה היא '''לא''' ההפך מקבוצה פתוחה. למשל, הקבוצה הריקה היא קבוצה פתוחה וסגורה.