אלגברה לינארית/משפט הממדים: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Mathreturn (שיחה | תרומות)
יצירת דף עם התוכן "===משפט הממדים=== משפט: יהיו <math>U,W</math> תתי מרחב של <math>V</math> מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> . אזי <math>\dim(U)+..."
 
Ysd2018 (שיחה | תרומות)
אין תקציר עריכה
 
שורה 1:
===משפט הממדים===
משפט: יהיו <math>U,W</math> תתי מרחב של <math>V</math> מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> . אזי <math>\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W)=\dim(U+W)</math>
 
{{מוסתר|הוכחה|1=
<math>\dim U=k</math>, <math>\dim W=l</math> ו <math>\dim U\cap W=m</math>.
 
יהי <math>\left\{ z_{1},.,z_{m}\right\}</math> בסיס של <math>U\cap W</math>, לכן היא תת קבוצה בת"ל של <math>U</math>.
 
לכן קיימים <math>u_{m+1},..,u_{k}\in U</math> כך ש <math>\left\{ z_{1},..,z_{m},u_{m+1},..,u_{k}\right\}</math> מהווה בסיס של <math>U</math>.
 
בדומה קיימים <math>w_{m+1},..,w_{l}\in W</math> כך ש <math>\left\{ z_{1},..,z_{m},w_{m+1},..,w_{l}\right\}</math> מהווה בסיס של <math>W</math>.
 
נראה ש <math>\left\{ z_{1},..,z_{m},u_{m+1},..,u_{k},w_{m+1},..,w_{l}\right\} </math> מהווה בסיס של <math>U+W</math>.
 
===קבוצה פורשת===
 
יהי <math>v\in U+W</math>, אז קיימים <math>w\in W,u\in W</math> כך שלפי סגירות לחיבור <math>v=u+w</math>.
 
מכאן קיימים <math>c_{1},..,c_{k}\in\mathbb{F}</math> כך ש <math>u=c_{1}z_{1}+..+c_{k}u_{k}</math> בדומה קיימים <math>d_{1},..,d_{l}\in\mathbb{F}</math> כך ש<math> w=d_{1}z_{1}+..+d_{l}w_{l}</math>
 
מכאן:<math> v=u+w=\left(c_{1}+c_{1}\right)z_{1}+...+\left(c_{m}+d_{m}\right)z_{m}+c_{m+1}u_{m+1}+...c_{k}u_{k}+d_{m+1}w_{m+1}...d_{l}w_{l}</math> ולכן \spn <math>S=U+W
</math>
בת"ל.
 
יהיו <math>a_{1},..,a_{m},b_{m+1},..,b_{k},c_{m+1},..,c_{l}\in\mathbb{F}</math> כך ש <math>a_{1}z_{1}+...+a_{m}z_{m}+b_{m+1}u_{m+1}+...b_{k}u_{k}+c_{m+1}w_{m+1}...c_{l}w_{l}=0
</math>
 
אז נעביר אגפים:<math>W\ni\overbrace{c_{m+1}w_{m+1}...c_{l}w_{l}}\overset{*}{=}\overbrace{-\left(a_{1}z_{1}+...+a_{m}z_{m}+b_{m+1}u_{m+1}+...b_{k}u_{k}\right)}\in U
</math>
 
נשם לב כי הביטוים משני הצדדים שווים ולכן ניתן לבטא אותם זה באמצעות זה.
 
<math>c_{m+1}w_{m+1}...c_{l}w_{l}\in U\cap W</math>, ולכן קיימים <math>d_{1},..,d_{m}\in\mathbb{F}</math> כך שנוכל באמצעותם ליצג צירוף לינארי עם ווקטורי הבסיס של <math>U\cap W</math>את הביטוי באגף השמאלי: <math>c_{m+1}w_{m+1}+..+c_{l}w_{l}=d_{1}z_{1}+...+d_{m}z_{m}</math>
 
נציב אותו במקום הביטוי מצד ימין: <math>d_{1}z_{1}+...+d_{m}z_{m}-\left(c_{m+1}w_{m+1}+..+c_{l}w_{l}\right)=0</math>
 
שזהו בדיוק הבסיס של <math>W</math>. מאחר ש<math> \left\{ z_{1},..,z_{n},w_{m+1},..,w_{l}\right\} </math> בת"ל אנו מסיקים כי<math> d_{1}=..=d_{m}=c_{m+1}=..=c_{l}=0</math>
 
נציב ב * <math>c_{m+1}=..=c_{l}=0</math> ונקבל: <math>a_{1}z_{1}+...+a_{m}z_{m}+b_{m+1}u_{m+1}+...b_{k}u_{k}=0</math>
 
מאחר ש-<math> \left\{ z_{1},..,z_{n},u_{m+1},..,u_{k}\right\}</math> בת"ל אז <math>a_{1}=..=a_{m}=b_{m+1}=..=b_{k}=0</math>
 
לפיכך הוכחנו כי <math>S </math> הוא בסיס של <math>U+W</math>.
 
נוכיח את נכונות משפט המימדים:
 
מספר האיברים ב S שווה ל <math>\overset{Z}{\overbrace{m}}+\overset{U}{\overbrace{\left(k-m\right)}}+\overset{W}{\overbrace{\left(l-m\right)}}=k+l-m\dim U+\dim W=k+l-m=\dim U\cap W+\dim U+W
</math>}}
 
 
{{מוסתר|הוכחה|2=