מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/חקירת משוואות/חקירת משוואה ריבועית: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה
אפרת צ (שיחה | תרומות)
 
שורה 31:
נפתור שוב בעזרת הסכימה. נבדוק מתי למשוואה אין בכלל פתרון ממשי. זה קורה כאשר הדיסקרימיננטה שלילית כלומר:
:<math display=block>\begin{matrix}\Delta<0\\\\b^2-4ac<0\\\\(m-3)^2-4\cdot(6-m)\cdot1<0\\\\m^2-6m+9-24+4m<0\\\\m^2-2m-15<0\end{matrix}</math>
<math>f(m)=m^2-2m-15</math> מייצגת פרבולה ישרה (כלומר מחייכת) החותכת את ציר <math>x</math> בנקודות <math>x=-5,3,5</math> ולכן כפי שפתרנו בפרק [[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/אי-שוויונות/אי-שוויונות ממעלה שניה|אי־שוויונות ממעלה שניה]]:
 
'''תשובה:''' <math>-53<m<35</math> ובזאת פתרנו את הסעיף הראשון. נמשיך ונפתור – עבור אילו ערכים של <math>m</math> יש למשוואה פתרון יחיד?
 
אם <math>a=0</math> אזי <math>6-m=0</math> ונקבל <math>m=6</math> ולכן גם מתקיים <math>b=m-3=3\ne0</math> וישנו פתרון יחיד במקרה <math>m=6</math> אך בזאת לא סיימנו את הפתרון מפני שעלינו גם לבדוק מה קורה אם <math>a\ne0</math> .
נדרוש <math>a\ne0</math> כלומר, <math>6-m\ne0</math> ונקבל <math>m\ne6</math> . עלינו גם לדרוש <math>\Delta=0</math> ולכן <math>m^2-2m-15=0</math> . פתרונות המשוואה הם כאמור <math>x=-5,3,5</math> . על־פי הסכימה, על־מנת שיתקבל פתרון יחיד צריך ששני התנאים יתקיימו יחדיו אך מכיוון שאם <math>m=-53</math> או <math>m=35</math> הרי שברור שגם מתקיים <math>x\ne6</math> .
 
מכאן שהתשובה לסעיף זה היא ה'''איחוד''' של שתי התשובות וזה אומר: <math>m=6</math> או <math>m=35</math> או <math>m=-53</math> .
 
את הסעיף האחרון ניתן לפתור בעזרת המידע שכבר קיים מפתרון הסעיפים הקודמים. פתרון הסעיף הזה הוא בדיוק ה'''משלים''' (אם אינך זוכר מהו '''משלים''' חזור לפרק [[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/קבוצות ותחומים|קבוצות ותחומים]]) של הקבוצה של כל הפתרונות הקודמים. נזכר ונראה שאיחוד הפתרונות הוא <math>-3<m<5</math> או <math>m=6</math> או <math>m=-3</math> או <math>m=-5</math> . מ[[מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/קבוצות ותחומים/איחוד וחיתוך#הקבוצה המשלימה וחוקי דה-מורגן|חוקי דה־מורגן]] מתקבל שהמשלים (שהוא גם ה'''פתרון''') הוא: (<math>m>5</math> או <math>m<-3</math>) וגם <math>m\ne6</math> וגם <math>m\ne-3</math> וגם <math>m\ne5</math>
 
תלמיד המתקשה בשימוש בחוקי דה־מורגן יכול כמובן לעבוד על־פי הסכימה הכתובה לעיל והתשובה שתתקבל תהיה שקולה.