מתמטיקה תיכונית/וקטורים/המכפלה הסקלרית: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 5:
==[[מתמטיקה תיכונית/הנדסה אנליטית/מרחק בין שתי נקודות|מרחק בין שתי נקודות]]==
[[תמונה:Distance_Formula.svg|שמאל|ממוזער|
בהינתן שתי נקודות במישור <math>A,B</math> אנו מעוניינים למצוא את המרחק ביניהן (הכוונה כמובן למרחק הקצר ביותר, שהוא אורך הקו הישר המחבר בין שתי הנקודות - הקו האוירי). כדי לעשות זאת, נעביר אנכים מהנקודות <math>A,B</math> לציר <math>x</math> ולציר <math>y</math> (סך הכל ארבעה אנכים, שניים לכל ציר). עקב כך, נוצר לנו משולש ישר זווית (כמצויר בתמונה משמאל). כעת נוכל להשתמש במשפט פיתגורס כדי לחשב את אורך היתר של המשולש, שהוא בעצם המרחק בין <math>A</math> ל-<math>B</math> .
שורה 11:
יהיו <math>A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)</math>
אז המרחק בין <math>A</math>
:<math>d_{AB}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}</math>}}▼
▲<math>d_{AB}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}</math>}}
=הקדמה=
שורה 26 ⟵ 25:
==הזוית בין שני וקטורים==
[[תמונה:Angle_between_two_vectors.svg|שמאל|ממוזער|
הזוית בין שני וקטורים <math>\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}</math> מוגדרת להיות הזווית בין הקרן <math>OA</math> לקרן <math>OB</math> (כאן O אינה בהכרח ראשית הצירים).
שורה 32 ⟵ 31:
הסימון המקובל לזוית שבין שני הוקטורים <math>\vec a,\vec b</math> הוא:
:<math>\angle(\vec a,\vec b)</math>▼
▲<math>\angle(\vec a,\vec b)</math>
<!-- רצוי להוסיף כאן חלוקה למקרים חשובים ולמצוא תמונה טובה יותר להמחיש את הנושא -->
שורה 41 ⟵ 39:
{{הגדרה|מספר=3|שם=מכפלה סקלרית|תוכן=
עבור שני וקטורים <math>\vec a,\vec b</math> המכפלה הסקלרית מוגדרת להיות
▲<font size=4><math>\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cdot\cos(\angle(\vec a,\vec b))</math></font size=4>}}
{{שימו לב|כיון שהאורך של וקטור האפס מוגדר להיות 0, המכפלה הסקלרית של וקטור האפס בוקטור אחר מוגדרת גם היא להיות 0.}}
שורה 53 ⟵ 50:
לכל <math>\vec a,\vec b,\vec c</math> ולכל סקלר <math>t</math> מתקיים:
;חילופיות (
;פילוג על חיבור (דיסטריבוטיביות):
;הומוגניות:
{{שימו לב|מכפלה סקלרית '''אינה''' כפל רגיל!! היא לא מקיימת תכונות שהיינו מצפים מכפל
=חישוב המכפלה הסקלרית=
שורה 66 ⟵ 63:
===דוגמא===
יהיו <math>\vec a,\vec b</math> וקטורים במרחב
המכפלה הסקלרית תהיה:
:<math>\vec a\cdot\vec b=6\cdot2\cdot\cos(60^{\circ})=6</math>▼
▲<math>\vec a\cdot\vec b=6\cdot2\cdot\cos(60^{\circ})=6</math>
==דרך ייצוג אלגברי==
שורה 76 ⟵ 72:
בהינתן הוקטורים:
:
המכפלה הסקלרית היא:
:
הייצוג האלגברי שימושי מאוד במציאת הזוית בין שני וקטורים כאשר רק הייצוג האלגברי שלהם נתון בעזרת השוואה עם ההגדרה ה"גאומטרית" של המכפלה הסקלרית.
שורה 85 ⟵ 80:
==באמצעות היטלים==
[[תמונה:Dot_Product.svg|שמאל|ממוזער|
דבר ראשון נסביר מהו היטל. כיוון שההגדרה עצמה מעט בעייתית נגדיר את ההיטל בצורה האינטואיטיבית ביותר.
{{הגדרה|מספר=4|שם=היטל|תוכן=
ההיטל של וקטור <math>\vec a</math> על הוקטור <math>\vec b</math> הוא הוקטור באורך של <math>a</math> בכיוונו של <math>b</math> . למען הפשטות נסמן את ההיטל של <math>a</math> על <math>b</math> כך: <math>{\vec p}_a
המכפלה הסקלרית היא לכן:
:
השיטה הנ"ל נוחה מאוד לשימוש בהוכחות שונות במרחב ובמישור, למרות שבדרך-כלל נהוג להשתמש בשתי השיטות שהוזכרו לעיל.
שורה 101 ⟵ 95:
==אורך של וקטור==
נסתכל על ההגדרה של המכפלה הסקלרית. אם נציב בהגדרה זו פעמיים וקטור מסוים, נקרא לו <math>\vec a</math> אנחנו נקבל:
:
כלומר, המכפלה הסקלרית של הוקטור בעצמו היא ריבוע האורך שלו. לכן נוכל לרשום:
:
{{שימו לב|אמנם בתוך השורש כופלים פעמיים בוקטור, אבל '''אין''' לצמצם את הריבוע ואת הוקטור! החזקה בתוך השורש היא של מכפלה סקלרית בעוד השורש הוא שורש של מכפלה רגילה בין מספרים ממשיים!}}
שורה 112 ⟵ 105:
==זוית בין וקטורים==
נסתכל על ההגדרה של המכפלה הסקלרית ונבודד משם את קוסינוס הזוית, נקבל:
:<math>\cos\bigl(\angle(\vec a,\vec b)\bigr)=\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a||\vec b|}</math>▼
▲<math>\cos(\angle(\vec a,\vec b))=\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a||\vec b|}</math>
בצורה הזו קל למצוא זוית בין שני וקטורים כאשר הם נתונים בייצוג אלגברי.
==הוכחת ניצבות==
[[תמונה:Perpendicular_Vector_Addition.svg|שמאל|ממוזער|
שני וקטורים נקראים ניצבים זה לזה אם הזווית ביניהם היא <math>90^\circ</math>, ומסמנים זאת כך <math>\vec a\perp\vec b</math> . נוכיח את הטענה הבאה:
{{טענה|מספר=1|שם=ניצבות של וקטורים|תוכן=הוקטורים <math>\vec a,\vec b</math> (השונים מוקטור
{{הוכחה|ראשית נציב בהגדרה <math>90^\circ</math> . כיון
כעת נוכיח שאם עבור שני וקטורים <math>\vec a,\vec b</math> מתקיים <math>\vec a\cdot\vec b=0</math> אז הם בהכרח ניצבים. אם המכפלה הסקלרית שווה 0,
בעזרת בדיקת המכפלה הסקלרית, או השוואת המכפלה הסקלרית
==נוסחאות נוספות==
שורה 132 ⟵ 123:
יהיו <math>\vec a,\vec b</math> וקטורים כלשהם במישור או במרחב. נרשום:
:
נשים לב, שיש רק מכפלה סקלרית אחת בביטוי מימין, ואת ריבועי הוקטורים ניתן להשיג באמצעות האורך שלהם, לכן נוכל לרשום:
:
למרות שנראית מסובכת, הנוסחה הנ"ל יכולה להיות מאוד שימושית במקרים מסוימים ורצוי לזכור אותה
▲למרות שנראית מסובכת, הנוסחה הנ"ל יכולה להיות מאוד שימושית במקרים מסוימים ורצוי לזכור אותה בעל-פה.
[[קטגוריה:וקטורים לתיכון]]
| |||