הוכחות מתמטיות/שונות/קיום שורש ריבועי

לכל $a\in \mathbb {R}$ קיים $c\in \mathbb {R}$ עבורו $x^{2}=a$ .

הוכחה

נגדיר קבוצה $A={\Big \{}r\in \mathbb {R} :r\geq 0,r^{2}<a{\Big \}}$ .

זו קבוצה לא־ריקה (כי $0,1\in A$) וחסומה מלמעלה על־ידי $a$ (כי לכל $r>a$ מתקיים $r^{2}>a^{2}>a$).

לכן על־פי אקסיומת השלמות של המספרים הממשים יש לה חסם עליון $x$ . כעת נוכיח כי $x^{2}=a$ .

• נניח בשלילה כי $x^{2}<a$ .

מתקיים $x<{\frac {a}{x}}$ . נגדיר ממוצע חשבוני $y={\frac {x+{\frac {a}{x}}}{2}}$ . לכן $x<y<{\frac {a}{x}}$ .

על־פי אי־שוויון הממוצעים מתקיים $y^{2}>x\!\cdot \!{\frac {a}{x}}=a$ . מזה נקבל $\left({\frac {a}{y}}\right)^{2}<a$ .

לכן ${\frac {a}{y}}\in A$ . אבל ${\frac {a}{y}}>x$ אף שהנחנו כי $x$ חסם עליון. סתירה!

• נניח בשלילה כי $x^{2}>a$ .

מתקיים $x>{\frac {a}{x}}$ . לכן ${\frac {a}{x}}<y<x$ .

כ.נ.ל מתקיים $y^{2}>a$ . מההגדרה לכל $r\in A$ מתקיים $r^{2}<a<y^{2}$ .

לכן $r<y<x$ . כלומר $y$ חסם מלמעלה של $A$ , אף שהנחנו כי $x$ חסם עליון. סתירה!

לכן $x^{2}=a$ .

$\blacksquare$