|
לכן <math>\sqrt2</math> אינו מספר רציונלי.
<math>\blacksquare</math>
==משפט קיום==
קיים מספר <math>a\in\R</math> עבורו <math>a^2=2</math> .
===הוכחה===
נגדיר קבוצה <math>A=\Big\{x\in\R:x\ge0,x^2<2\Big\}</math> .
זו קבוצה לא־ריקה (כי <math>0,1\in A</math>) וחסומה מלמעלה על־ידי 2 (כי לכל <math>t>2</math> מתקיים <math>t^2>4>2</math>).
לכן על־פי אקסיומת השלמות של המספרים הממשים יש לה חסם עליון <math>a</math> . כעת נוכיח כי <math>a^2=2</math> .
*נניח בשלילה כי <math>a^2<2</math> .
:מתקיים <math>a<\frac2a=b</math> . נגדיר [[w:ממוצע חשבוני|ממוצע חשבוני]] <math>y=\frac{a+b}{2}</math> . לכן <math>a<y<b</math> .
:על־פי [[w:אי-שוויון הממוצעים|אי־שוויון הממוצעים]] מתקיים <math>y^2>ab=2</math> . נהפוך את אי־השוויון ונכפיל ב־4 ונקבל <math>\left(\frac2y\right)^2=\frac{4}{y^2}<\frac42=2</math> .
:לכן <math>\frac2y\in A</math> . אבל <math>\frac2y>\frac2b=a</math> אף שהנחנו כי <math>a</math> חסם עליון. סתירה!
*נניח בשלילה כי <math>a^2>2</math> .
:מתקיים <math>a>\frac2a=b</math> . נגדיר <math>y</math> כנ"ל. לכן <math>b<y<a</math> .
:כנ"ל מתקיים <math>y^2>2</math> . מההגדרה לכל <math>x\in A</math> מתקיים <math>x^2<2<y^2</math> .
:לכן <math>x<y<a</math> . כלומר <math>y</math> חסם מלמעלה של <math>A</math> , אף שהנחנו כי <math>a</math> חסם עליון. סתירה!
לכן <math>a^2=2</math> .
<math>\blacksquare</math>
| 