|
=שלושה וקטורים שסופם על ישר אחד=
[[תמונה:Mittpunktsformeln.png|שמאל|ממוזער|200px200 פיקסלים|דוגמה לשלושה וקטורים במישור שמוצאם משותף (ראשית הצירים) וסופם על ישר.]]
יהיו הנקודות O,<math>A,B ו-,C</math> שלוש נקודות (במישור, במרחב או במרחב <math>n-ממדי</math>־ממדי כלשהו). ניקח את <math>O</math> להיות נקודת המוצא המשותפת של הוקטורים <math>\overrightarrow{OA}</math> ,<math>\overrightarrow{OB}</math> ו- <math>,\overrightarrow{OC}</math> שכולם מסתיימים על ישר אחד. כלומר, הנקודות <math>A, B ו-,C</math> נמצאות על אותו ישר.
{{טענה|
|מספר=1|
|שם=שלושה וקטורים שמוצאם בנקודה משותפתאחת וסופם על ישר|
|תוכן=התנאים למעלה מתקיימים, אם ורק אם, קיימים שני מספרים ממשיים <math>t_1O</math> ו-נקודה <math>t_2</math> כךכלשהיא, ש-הוקטורים <math>\overrightarrow{OBOA}=t_1\cdot ,\overrightarrow{OAOB}+t_2\cdot ,\overrightarrow{OC}</math> וגםמסתיימים על ישר אם ורק אם קיימים מספרים ממשיים <math>t_1 + ,t_2 = 1</math>.}} עבורם:
:<math> \begin{align}\overrightarrow{OB}=t_1 \cdot \overrightarrow{OA}+t_2 \cdot \overrightarrow{OC }\\t_1+t_2=1\end{align}</math> }}▼
===חלוקה למקרים===
כעת אנחנו נבחן באמצעות <math>t_1</math> ו- <math>,t_2</math> שהופיעו בטענה למעלה, את מיקום הנקודה <math>B</math> ביחס לנקודות <math>A ו- ,C</math> .
;אם <math>t_1 < >0</math> וגם <math>t_2 > 0</math> : הנקודה <math>B </math> נמצאת על הישר "אחרי"בין הנקודה <math>C </math> לנקודה <math>A</math> . ▼
;אם <math>t_1 > 0</math> וגם <math>t_2 > <0</math> : הנקודה <math>B</math> נמצאת ביןעל הנקודההישר C"אחרי" לנקודההנקודה <math>A</math> .
;אם <math>t_1 > <0</math> וגם <math>t_2 < >0</math> : הנקודה <math>B</math> נמצאת על הישר "אחרי" הנקודה A<math>C</math> .
▲;אם <math>t_1 < 0</math> וגם <math>t_2 > 0</math> : הנקודה B נמצאת על הישר "אחרי" הנקודה C.
שינון הטענה והחלוקה למקרים יכול להועיל בשאלות ספציפיות שונות ולעתים גם להועיל בהוכחות גאומטריות. את ההוכחה של הטענה והמקרים השונים ניתן למצוא בסעיף למטה.
=הוכחות=
{{שקול לדלג|סיבה=ההוכחות בחלק זה אינן נדרשות לבחינת הבגרות וחלקן מכילות טענות ונוסחאות שנלמד רק בפרקים הבאים. רצוי לקרוא את ההוכחות בחלק זה אחרי שמסיימים לקרוא את כל הספר כדי לקבל מבט מעמיק על הוכחות עם וקטורים.}}
{{טענה|
מספר=1|
שם=וקטורים שמוצאם בנקודה אחת וסופם על ישר|
תוכן= הנקודה O נקודה כלשהי, הוקטורים <math>\overrightarrow{OA}</math> ,<math>\overrightarrow{OC}</math> ו- <math>\overrightarrow{OB}</math> מסתיימים על ישר, אם ורק אם, קיימים מספרים ממשיים <math>t_1</math> ו- <math>t_2</math> כך ש: <math>\overrightarrow{OB}=t_1\overrightarrow{OA}+t_2\overrightarrow{OC}</math> וגם <math>t_1 + t_2 = 1</math>.}}
{{הוכחה|
נוכיח את הכיוון הראשון. הוקטור <math>\overrightarrow{OB}</math> נמצא במישור שנפרשהנפרש על-ידיעל־ידי <math>\overrightarrow{OA}</math> ו- <math>,\overrightarrow{OC}</math> . לכן קיימים מספרים ממשיים <math>t_1</math> ו- <math>,t_2</math> עבורם מתקיים:
:<math>\overrightarrow{ ACOB}= tt_1\overrightarrow{ ABOA}+t_2\overrightarrow{OC}</math> ▼
כמו כן, הנקודות <math>A, B ו-,C </math> נמצאות על אותו ישר. לכן קיים מספר ממשי <math>t</math> עבורו מתקיים: ▼▲<math>\overrightarrow{OB}=t_1\cdot \overrightarrow{OA}+t_2\cdot \overrightarrow{OC}</math>
:<math> (t\cdot t_1-t+1)\cdot \overrightarrow{ OAAC} +(=t \cdot t_2-1)\cdot \overrightarrow{ OCAB} =\vec 0</math> ▼
▲כמו כן, הנקודות A, B ו-C נמצאות על אותו ישר. לכן קיים מספר ממשי <math>t</math> עבורו מתקיים:
▲<math>\overrightarrow{AC}=t\overrightarrow{AB}</math>
נפרק כל וקטור במשוואה למעלה לחיסור בין שני וקטורים, ונקבל:
:<math> \begin{align}\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA} &= t\overrightarrow{OB}-t\overrightarrow{OA}\\&=\bigl((t\cdot t_1 )\overrightarrow{OA}+ (t\cdot t_2 )\overrightarrow{OC} \bigr)- t\overrightarrow{OA}\\(t\cdot t_1-t+1)\overrightarrow{OA }&+(t\cdot t_2-1)\overrightarrow{OC}=\vec0\end{align}</math> ▼
כיוון שהוקטורים <math>\overrightarrow{OA} </math> ו- <math>,\overrightarrow{OC}</math> הם בלתי-תלוייםבלתי־תלויים, אנחנו מקבלים את מערכת המשוואות: ▼:<math>\begin{ matrixalign}t\cdot t_2-1 &= & 0 \\t\cdot t_1-t-1 &= 0\\\frac{t_1}{t_2}-\frac{1}{t_2}+1& =0 \\t_1+t_2&=1\end{ matrixalign}</math> ▼
<math>\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=t\cdot \overrightarrow{OB}-t\cdot \overrightarrow{OA}</math>
נחליף את <math>\overrightarrow{OB}</math> בביטוי הראשון למעלה כקומבינציה של <math>t_1</math> ו- <math>t_2</math> ונקבל:
▲<math>\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=t\cdot t_1\overrightarrow{OA}+t\cdot t_2\overrightarrow{OC}-t\cdot \overrightarrow{OA}</math>
נעביר אגפים, ונקבל:
▲<math>(t\cdot t_1-t+1)\cdot \overrightarrow{OA}+(t\cdot t_2-1)\cdot \overrightarrow{OC}=\vec 0</math>
▲כיוון שהוקטורים <math>\overrightarrow{OA}</math> ו- <math>\overrightarrow{OC}</math> הם בלתי-תלויים, אנחנו מקבלים את מערכת המשוואות:
▲<math>\begin{matrix}t\cdot t_2-1 &=& 0 \\t\cdot t_1-t-1 &=&0\end{matrix}</math>
נבודד את t מהמשוואה הראשונה ונציב במשוואה השניה, ונקבל:
<math>\frac{t_1}{t_2}-\frac{1}{t_2}+1=0 </math>
נכפול את המשוואה בr ונקבל את התוצאה הרצויה:
<math>t_1 + t_2 = 1</math>
<!--להוסיף הוכחות-->
[[קטגוריה:וקטורים לתיכון]]
| 