אלגברה לינארית/מערכות של משוואות לינאריות: הבדלים בין גרסאות בדף

אין תקציר עריכה
אין תקציר עריכה
=משוואה ליניאריתלינארית ב-nב־n נעלמים=
'''משוואה לינארית ב-ב־<math>n</math> נעלמים''' היא משוואה מהצורה <math> a_{1}x_{1}a_1x_1+...\cdots+a_{n}x_{n}a_nx_n=b</math> כאשר <math>a_{1}a_1,..\ldots,a_{n}a_n\in\mathbb{R} </math> ו-ו־<math> x_{1}x_1,..\ldots,x_{n}x_n</math> נעלמים. <math>b</math> מייצג '''מקדם חופשי'''.
 
ניתן לייצג משוואה לינארית כסכום של הסקלרים והנעלמים בה, <math>ax_1+\cdots+a_nx_n=\sum_{j=i}^na_jx_i</math>
 
'''מרחב (<math>\R^{n}</math>), ''' למשל <math>\R^{2}</math> הוא המישור, <math> \R^{3} </math> מרחב תלת מימדיתלת־ממדי וכן הלאה.
 
'''אניות (<math>n</math>-יה־יה סדורה) -''' אוסף של איבריםאברים מסודרים לפי סדר, למשל, <math>\R^{n}=\leftBig\{ \left(x_{1}x_1,..\ldots,x_{n}\rightx_n)|x_{i}:x_i\in\R\;,\forall1\le i\le n\rightBig\}</math> , אזי <math>x_{1}x_1,...x_{n}\ldots,x_n</math> היא אניה.
 
'''וקטור''' <math>\left(x_{1}x_1,..\ldots,x_{n}\rightx_n) </math> הוא '''פתרון של המשוואה''' <math> a_{1}x_{1}a_1x_1+...\cdots+a_{n}x_{n}a_nx_n=b</math> אם בעת הצבתו במקום הנעלמים <math>x_{1}x_1,..x_{n}\ldots,x_n</math> מתקבלת משוואה אמת. למשל <math>x_1+x_2=0</math> כאשר הווקטור הוא למשל <math>(2,-2)</math>. .
 
===קבוצת הפתרונות של מערכת משוואות===
'''קבוצת הפתרונות של משוואה לינארית''' הוא אוסף (קבוצת) הפתרונות של משוואה, אניה <math>\leftBig\{ \left(x_{1}x_1,..x_{n}\rightldots,x_n)\in\R^{n}:a_1x_1+\mid a_{1}x_{1}cdots+...+a_{n}x_{n}a_nx_n=b\rightBig\}</math> אשר ניתן להציגה באמצעות גרף. פתרון משוואה לינארית משמעותו הצגת קבוצות הפתרונות באמצעות פרמטרים.
 
בהמשך לדוגמהלדוגמא הקודמת, אוסף הפתרונות של <math>x_1+x_2=0</math> היא האניה <math>\Big\{(x_{1}x_1,x_{2}x_2)\in\mathbb{\mathbb{R}}^{2}|x_{1}:x_1+x_{2}x_2=0\Big\}</math>
 
מאחר ש-ש־<math>x_1=-x_2</math> נסמן את <math>x_2=t</math> ולכן ההצגה הפרמטרית היא <math>\leftBig\{ \left(-t,t\right)|:t\in\R\rightBig\} =\leftBig\{ \left(x_{1}x_1,x_{2}\rightx_2)\in\R^{2}\mid x_{1}:x_1-x_{2}x_2=1\rightBig\} </math>
 
נוכל לצייר את הפתרון על גרף באמצעות ציר שייצג את <math>x_1</math> וציר שני את <math>x_2</math> .
 
=מערכת של משוואות ליניאריותלינאריות=
'''ערכת m משוואות לינאריות ב־n נעלמים''' היא מערכת עם <math>m</math> משוואות ו־<math>n</math> נעלמים:
:<math>\begin{alignat}{7}
a_{11} x_1 &&\; + \;&& a_{12} x_2 &&\; + \;\cdots \;+ \;&& a_{1n} x_n &&\; = \;&&& b_1 \\
a_{21} x_1 &&\; + \;&& a_{22} x_2 &&\; + \;\cdots \;+ \;&& a_{2n} x_n &&\; = \;&&& b_2 \\
\vdots\;\;\; && && \vdots\;\;\; && && \vdots\;\;\; && &&& \;\vdots \\
a_{m1} x_1 &&\; + \;&& a_{m2} x_2 &&\; + \;\cdots \;+ \;&& a_{mn} x_n &&\; = \;&&& b_m. \\
\end{alignat}</math>
כאשר <math>a_{ij},b_i\in\R</math>
 
כאשר *<math>a_{ij},b_{i}\in\mathbb{R}alpha</math> מקדם (סקלר)
* <math>b</math> מקדם חופשי
 
* <math>x_1,\alphaldots,x_n</math> מקדם (סקלר)נעלמים.
* <math>b</math> מקדם חופשי
* <math>x_{1},...,x_{n}</math> נעלמים.
 
===קבוצת הפתרונות של מערכת משוואות===
<math>\left(x_{1}x_1,..\ldots,x_{n}\rightx_n)\in\R^{n} </math> נקרא פתרון של מערכת המשוואות אם בעת הצבתו במערכת המשוואות במקום הנעלמים <math>x_{1}x_1,..x_{n}\ldots,x_n</math> כל אחת מהמשוואות תניב משוואת אמת.
 
דוגמה: תהי מערכת משוואות עם <math>m=2</math> ו-<math>,n=2</math>
:<math>\begin{cases}x_1+x_2=0\\x_2=1\end{cases}</math>
 
מספר הפתרונות למערכת המשוואות הוא יחיד ופתרונו <math>\bigl\{(-1,1) \bigr\}</math>
<math>\begin{cases}
x_{1}+x_{2}=0\\
x_{2}=1
\end{cases}.
 
</math>
 
מספר הפתרונות למערכת המשוואות הוא יחיד ופתרונו <math>\{(-1,1) \}</math>
 
==סוגי מערכת פתרונות ופתרונות==
*מערכת משוואות קונסיסטנטית – מערכת משוואות שקבוצת הפתרונות שלה ריקה.
*מערכת משוואות הומוגנית – מערכת משוואות קונסיסטנטית שקבוצת הפתרונות שלה טריוויאליתטריויאלית, כלומר שווה לאפס או במיליםבמלים אחרות
:<math>\begin{bmatrix}b_1\\\vdots\\b_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\\vdots\\0\end{bmatrix}</math>
*מערכת משוואות עם אינסוף פתרונות – כאשר אחד ממקדמי הנעלמים שווה לאפס, לדוגמא <math>0x=0</math> או
:<math>\begin{cases}0x+y+2z=-1\\z+y=3\end{cases}</math>
*מערכת משוואות לינארית עם <math>n</math> נעלמים ללא פתרונות – מערכת משוואות מהצורה <math>0x+0y=2</math>
*מערכת משוואות עם פתרון יחיד – כאשר מספר המשוואות שווה למספר הנעלמים.
*מערכת משוואות עם אוסף פתרונות – כאשר מספר הנעלמים גדול ממספר המשוואות.
 
 
{{אלגברה לינארית|מוגבל=כן}}