אלגברה לינארית/העתקות לינאריות: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן= יהיו <math> V,W,Z</math> מ".ו ו-ו־<math> T:V\to W</math> ו-ו־<math>S:W\to Z</math> ה".ל. יהיו <math>B,C,D</math> בסיסים סדורים של <math>V,W,Z</math> בהתאמה.

אזי <math>S\circ T</math> היא העתקה ליניאריתלינארית ומתקיים:<math>\left[S\circ T\right]_{D}_D^{B}=\left[S\right]_{D}_D^{C}\cdot\left[T\right]_{C}_C^{B</math>}}

תוכן=תהי <math>T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2}</math> ההעתקה המוגדרת ע"י <math>T\left(\begin{bmatrix}x_{1}\\

ו-ו־<math>S:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{5}</math> להיות ההעתקה המוגדרת ע"י <math>S\left(\begin{bmatrix}x_{1}\\

לחילופין, נתבונן <math>\left[S\circ T\right]_{D}_D^{B}=\left[S\right]_{D}_D^{C}\cdot\left[T\right]_{C}_C^{B}</math> .

נציב את ההעתקה המקיימת <math> \left[T\right]_{\mathcal{E}_{3}_3}^{\mathcal{E}_{2}_2}=\begin{bmatrix}1 & 1 & 0\\0&1&1\end{bmatrix}</math>

ואת ההעתקה המקיימת <math>\left[S\right]_{\mathcal{E}_{5}_5}^{\mathcal{E}_{2}_2}=\begin{bmatrix}1 & 1\\1&-1\\1&0\\0&1\\2&1\end{bmatrix}</math>

שם=העתקה לינארית (קרטריוןקריטריון מקוצר)|

יהיו <math>V,W</math> מרחבים וקטוריים מעל <math>\mathbbBbb F</math> ותהי הפונקציה <math>T:V\to W</math> .

תיקרא העתקה לינארית (ובקיצור '''ה".ל''') אמ"מ מתקיימים התנאים הבאים:

*הומוגניות: <math>\forall\alpha\in\mathbbBbb F,u\in V:T(\alpha u)=\alpha T(u)</math>

תהי <math>T:V\to W</math> פונקציה. <math>T</math> היא ה".ל אמ"מ <math>\forall u,v\in V,\alpha\in\mathbb{Bbb F};T(u+\alpha v)=T(u)+\alpha T(v)</math>

הוכחה: אם <math>T</math> ה".ל, אזי <math>T(u+\alpha v)=T(u)+T(\alpha v)=T(u)+\alpha T(v)</math>

*<math>T(\vec 0_Vvec0_V)=T(\vec 0_Vvec0_V+(-1)\vec 0_Vvec0_V)=T(\vec 0_Vvec0_V)-T(\vec 0_Vvec0_V)=\vec 0_Wvec0_W\ \rArr\ T(\alpha u)=T(\vec 0_Vvec0_V+\alpha u)=\vec 0_Wvec0_W+\alpha T(u)=\alpha T(u)</math>

* תהי <math>T:V\to W</math> ה".ל,. אזי: מהוכחת הקריטריון המקוצר, נובע: <math>T(\vec 0_Vvec0_V)=\vec 0_Wvec0_W</math>

*העתקה שומרת על צירופים לינאריים: יהיו <math>V, W</math> מ"ו מעל שדה <math>\mathbb{Bbb F}</math> . תהי <math>T:V\to W</math> העתקה לינארית אזי לכל סדרת וקטורים <math>v_1,v_2\ldots,...v_n\in V</math> ולכל סדרת סקלרים <math>c_1,c_2,...\ldots,c_n\in\mathbb{Bbb F}</math> מתקיים <math>T\left(\sum_{i=1}^n \alpha_iu_i\right)=\sum_{i=1}^n \alpha_iT(u_i)</math> כלומר <math>T(c_1v_1+...\ldots+c_nv_n)=c_1T(v_1)+...\ldots+c_nT(v_n)</math>

הוכחה: <math>T\left(\sum_{i=1}^n\alpha_iu_i\right)=\sum_{i=1}^n TnT(\alpha_iu_i)=\sum_{i=1}^n\alpha_iT(u_i)</math>

האם קיימת העתקה לינארית <math>T\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}=1, T\begin{bmatrix}1\\-1\\0\end{bmatrix}=2,T\begin{bmatrix}1\\-1\\1\end{bmatrix}=3</math> ?

נפעיל את העתקה ונקבל: <math>3=2+1</math>

==משפט: קיומה של העתקה לינארית==

תוכן=אם <math>V,W</math> מרחבים וקטוריים מעל <math>\mathbb{Bbb F}</math> ו-ו־<math>{v_1,v_2\ldots,..v_n}</math> וקטורי הבסיס <math>V</math> אזי קיימת העתקה לינארית <math>T:V\to W</math> יחידה כךעבורה ש-<math>\forall 1forall1\le i\le n \ \ :\ T(v_i)=w_i</math>

האם קיימת העתקה לינארית <math>T\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}=1,T\begin{bmatrix}1\\-1\\0\end{bmatrix}=2,T\begin{bmatrix}1\\-1\\1\end{bmatrix}=3</math> ?

'''פתרון:''' נוכיח כי קבוצת הווקטורים הם בת"ל.

תוכן= תהי <math>T:V\to W</math> העתקה לינארית. אם <math>v_1...,\ldots,v_n\in V</math> ת".ל אזי <math>Tv_1,...\ldots,Tv_2\in W</math> ת".ל.

*העתקת הזהות -– תהי העתקה <math>Id_v:V \to V</math> ומתקיים ש-<math>\forall v\in V : Id_v(v)=v</math> נקראת מטריצת הזהות

* העתקה חח"ח.ח.ע -– יהיו <math>V, W</math> מ".ו מעל שדה <math>\mathbb{Bbb F}</math> . תהי <math>T:V\to W</math> העתקה לינארית. <math>T</math> תקרא העתקה חח"ח.ח.ע אם לכל <math>v_1, v_2\in V</math>, כאשר <math>:v_1\ne v_2</math> ולכל <math>fTT(v_1), T(v_2)\in W</math> גורר <math>f(v_1)\ne f(v_2)</math> , או לחילופין <math>T(v_1)=T(v2)</math> גורר <math>v_1=v_2</math> .

* העתקה על -– אם לכל <math>w\in W</math> התמונה של לפחות <math>v\in V</math> אחד.

*העתקה איזומורפיזם -– העתקה חח"ח.ח.ע ועל

תוכן= תהי <math>T:V\to W</math> העתקה לינארית חח"ח.ח.ע ועל אזי קיימת העתקה הפוכה <math>T^-1:W\to V</math>

יהיו <math>V,W,U</math> מרחבים וקטוריים מעל <math>\mathbb{Bbb F}</math> , ותהיינה <math>T:V\to W, S:W\to U</math> העתקות לינאריות.

יהיו <math>u,v\in V,\alpha\in\mathbb{Bbb F}</math> . אזי <math>ST(u+\alpha v)=S\bigbigl(T(u+\alpha v)\bigbigr)=S\bigbigl(T(u)+\alpha T(v)\bigbigr)=S\bigl(T(u)\bigr)+\alpha S\bigl(T(v)\bigr)=ST(u)+\alpha ST(v)</math>