אלגברה לינארית/העתקות לינאריות: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה
Ysd2018 (שיחה | תרומות)
שורה 2:
[[קובץ:Kern Mathematik.svg|ממוזער]]
 
{{הגדרה|
מספר=1|
שם=העתקה לינארית |
תוכן=יהיו <math>V,W,Z</math> מ.ו ו־<math>T:V\to W</math> ו־<math>S:W\to Z</math> ה.ל. יהיו <math>B,C,D</math> בסיסים סדורים של <math>V,W,Z</math> בהתאמה.
 
אזי <math>S\circ T</math> היא העתקה לינארית ומתקיים:<math>[S\circ T]_D^B=[S]_D^C\cdot[T]_C^B</math>}}
{{דוגמה|
מספר=1|
שם=העתקות לינאריות|
תוכן=תהי <math>T:\R^3\to\R^2</math> ההעתקה המוגדרת ע"י
<math>T\left(\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix}x_1+x_2\\x_2+x_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&1&0\\0&1&1\end{bmatrix}</math>
 
ו־<math>S:\R^2\to\R^5</math> להיות ההעתקה המוגדרת ע"י
<math>S\left(\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix}x_1+x_2\\x_1-x_2\\x_1\\x_2\\2x_1+x_2\end{bmatrix}</math>
אז <math>S\circ T:\R^3\to\R^5</math> היא ההעתקה
<math>S\circ T\left(\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix}x_1+2x_2+x_3\\x_1-x_3\\x_1+x_2\\x_2+x_3\\2x_1+3x_2+x_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&2&1\\1&0&-1\\1&1&0\\0&1&1\\2&3&1\end{bmatrix}</math>
 
לחילופין, נתבונן <math>[S\circ T]_D^B=[S]_D^C\cdot[T]_C^B</math> .
 
נציב את ההעתקה המקיימת <math>[T]_{\mathcal{E}_3}^{\mathcal{E}_2}=\begin{bmatrix}1&1&0\\0&1&1\end{bmatrix}</math>
 
ואת ההעתקה המקיימת <math>[S]_{\mathcal{E}_5}^{\mathcal{E}_2}=\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\\1&0\\0&1\\2&1\end{bmatrix}</math>
 
אז מכפלתם
<math>[S]_{\mathcal{E}_5}^{\mathcal{E}_2}\cdot[T]_{\mathcal{E}_3}^{\mathcal{E}_2}=\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\\1&0\\0&1\\2&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&1&0\\0&1&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&2&1\\1&0&-1\\1&1&0\\0&1&1\\2&3&1\end{bmatrix}=[S\circ T]_{\mathcal{E}_5}^{\mathcal{E}_3}</math>
}}
 
{{הגדרה|