|
==משפט: קיומה של העתקה לינארית==
{{משפט|
מספר=1|
שם=קיומה של העתקה לינארית|
תוכן=אם <math>V,W</math> מרחבים וקטוריים מעל <math>\Bbb F</math> ו־<math>v_1,\ldots,v_n</math> וקטורי הבסיס <math>V</math> אזי קיימת העתקה לינארית <math>T:V\to W</math> יחידה עבורה <math>\forall1\le i\le n:\ T(v_i)=w_i</math>
}}
{{תרגיל
|מספר=1
|שאלה=האם קיימת העתקה לינארית <math>T\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}=1, T\begin{bmatrix}1\\-1\\0\end{bmatrix}=2,T\begin{bmatrix}1\\-1\\1\end{bmatrix}=3</math> ?
|פתרון=הווקטורים שלפנינו תלוים לינארית ולכן נוכיח כי קיימת העתקה לינארית על פי הגדרה:
'''אדטיביות:''' <math>T\begin{bmatrix}1\\-1\\1\end{bmatrix}=T\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}+T\begin{bmatrix}1\\-1\\0\end{bmatrix}</math>
נפעיל את העתקה ונקבל: <math>3=2+1</math>
|יישור=ימין}}
{{תרגיל
|מספר=1
|שאלה=
|פתרון=
\mathbb{F}=\mathbb{R} ו V=W=\R^{1}, T:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, T\left(x\right)=x^{2}.אז T אינה העתקה ליניארית כי T\left(1+2\right)=3^{2}=9\ne5=1^{2}+2^{2}=T\left(1\right)+T\left(2\right)כי לא מקיימת חיבור.
|יישור=
}}
===משפט תלות===
{{משפט|
מספר=2|
שם=אם ווקטורי התחום תלוים לינארית אזי גם העתקה|
תוכן=תהי <math>T:V\to W</math> העתקה לינארית. אם <math>v_1,\ldots,v_n\in V</math> ת.ל אזי <math>Tv_1,\ldots,Tv_2\in W</math> ת.ל.
}}
{{תרגיל
|מספר=2
|שאלה=האם קיימת העתקה לינארית <math>T\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}=1,T\begin{bmatrix}1\\-1\\0\end{bmatrix}=2,T\begin{bmatrix}1\\-1\\1\end{bmatrix}=3</math> ?
|פתרון= נוכיח כי קבוצת הווקטורים הם בת"ל.
<math>a\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}+b\begin{bmatrix}1\\-1\\0\end{bmatrix}+c\begin{bmatrix}1\\-1\\1\end{bmatrix}=0</math>
<math>\begin{cases}a+b+c=0\to a=0\\-b-c=0\to b-0\\c=0\end{cases}</math>
(ניתן להוכיח כי הווקטורים ב.ת.ל שכן מייצרים מטריצה משולשת שהנה הפיכה ולכן בהכרח עמודותיה ב.ת.ל) קבוצת הווקטורים היא בת"ל וכמו ניתן לייצר באמצעותה כל צירוף לינארי של ווקטורי <math>\R^3</math> לכן לפי המשפט קיימת העתקה לינארית.
|יישור=ימין}}
| 