ויקיספר

אלגברה לינארית/העתקות לינאריות: הבדלים בין גרסאות בדף

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
Ysd2018 (שיחה | תרומות)
574 עריכות
Ysd2018 (שיחה | תרומות)
574 עריכות
אין תקציר עריכה
שורה 52:
}}
 
{{תרגיל
{{דוגמה|
|מספר=2| 1
|שאלה=האם קיימת העתקה לינארית <math>T\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}=1, T\begin{bmatrix}1\\-1\\0\end{bmatrix}=2,T\begin{bmatrix}1\\-1\\1\end{bmatrix}=3</math> ?
שם=העתקה לינארית ממרחב הפונקציות|
|פתרון=הווקטורים שלפנינו תלוים לינארית ולכן נוכיח כי קיימת העתקה לינארית על פי הגדרה:
תוכן=
תהי <math>S</math> קבוצה. <math>V=\mathbb{F}^{S}, s \in S</math>.
 
'''אדטיביות:''' <math>T\begin{bmatrix}1\\-1\\1\end{bmatrix}=T\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}+T\begin{bmatrix}1\\-1\\0\end{bmatrix}</math>
נגדיר <math> T_{s}:V\to\mathbb{F}^{1}</math> ע"י <math>T_{s}\left(f\right)=f\left(s\right)</math> לכל <math>f\in V</math>.<math>T_{s}</math> היא העתקה ליניארית:
* <math>T_{s}\left(f+g\right)=\left(f+g\right)\left(s\right)=f\left(s\right)+g\left(s\right)=T_{s}\left(f\right)+T_{s}\left(g\right)</math>
* <math>T_{s}\left(c\cdot f\right)=\left(c\cdot f\right)\left(s\right)=c\cdot\left(f\left(s\right)\right)=c\cdot T_{s}\left(f\right)</math>
 
נפעיל את העתקה ונקבל: <math>3=2+1</math>
הערה: אוסף הפונקציות שמתאפסות באיבר מסויים, ניתן לתאר ע"י תמונה הפוכה: <math>\left\{ f\in\mathbb{F}^{S}\mid f\left(s\right)=0\right\} =\left\{ f\in\mathbb{F}^{S}\mid T_{S}\left(f\right)=0\right\} =T_{s}^{-1}\left(0\right)</math>
}}
{{הגדרה|
מספר=2| ▼
שם=העתקה לינארית - מטריצה|
תוכן=
<math> W=\mathbb{F}^{m}</math> ו-<math> V=\mathbb{F}^{n}</math> מרחב ווקטור של כל הפונקציות מ-<math>n,m</math> לשדה. תהי <math>A</math> מטריצה <math>m\times n</math> עם מקדמים ב- <math>\mathbb{F}</math>.
 
|יישור=ימין}}
נגדיר <math> T_{A}:V\to W</math> ע"י <math>T_{A}\left(v\right)=A\cdot v</math> לכל <math>v\in V.T_{A}</math> היא ה"ל.
 
{{תרגיל
▲|מספר=2|
|שאלה=<math> \mathbb{F}=\mathbb{R}</math> ו-<math>V=W=\R^{1}, T:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, T\left(x\right)=x^{2}</math> האם <math>T</math> העתקה לינארית?
|פתרון=
<math>T</math> אינה העתקה ליניארית כי לא מקיימת סגירות לחיבור <math>T\left(1+2\right)=3^{2}=9\ne5=1^{2}+2^{2}=T\left(1\right)+T\left(2\right)</math>.
|יישור=ימין
}}
{{תרגיל
|מספר=3|▼
|שאלה=האם קיימת העתקה לינארית <math>T\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}=1,T\begin{bmatrix}1\\-1\\0\end{bmatrix}=2,T\begin{bmatrix}1\\-1\\1\end{bmatrix}=3</math> ?
 
|פתרון= נוכיח כי קבוצת הווקטורים הם בת"ל.
<math>a\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}+b\begin{bmatrix}1\\-1\\0\end{bmatrix}+c\begin{bmatrix}1\\-1\\1\end{bmatrix}=0</math>
 
<math>\begin{cases}a+b+c=0\to a=0\\-b-c=0\to b-0\\c=0\end{cases}</math>
 
(ניתן להוכיח כי הווקטורים ב.ת.ל שכן מייצרים מטריצה משולשת שהנה הפיכה ולכן בהכרח עמודותיה ב.ת.ל) קבוצת הווקטורים היא בת"ל וכמו ניתן לייצר באמצעותה כל צירוף לינארי של ווקטורי <math>\R^3</math> לכן לפי המשפט קיימת העתקה לינארית.
 
{{הגדרה|
▲מספר=3|
שם=|
תוכן=
תהי <math>A\in A_{m\times n}</math> ויהי <math>b\in\mathbb{F}^{m}</math>. אז קבוצת הפתרונות של <math>Ax=b</math> היא <math>T_{A}^{-1}\left(b\right)</math> (כלומר התמונה ההפוכה של <math>b\in\mathbb{F}^{m}</math> דהיינו <math>T_{A}^{-1}\left(b\right)=\left\{ x\in\mathbb{F}^{n}\mid T_{A}\left(x\right)=b\right\}</math> זוהי תמונה הפוכה של <math>b</math> ביחס ל-<math>A</math>. ייתכן שתהיה קבוצה ריקה <math>\emptyset</math>.
)
}}
 
 
[[קטגוריה:אלגברה לינארית]]
אוחזר מתוך "https://he.wikibooks.org/wiki/אלגברה_לינארית/העתקות_לינאריות"