|
מספר=1|
שם=מכפלת מטריצות|
תוכן=תהא <math>A\in M_{m\times n}</math> , ותהא <math>B\in M_{p\times m}</math> (מספר השורות של מטריצה <math>A</math> שווה למספר העמודות של מטריצה <math>B</math>, ראה דוגמה).
נסמן את העמודות של מטריצה <math>A</math> ב-ב־<math>c_1,\dotsldots, c_n</math> אז המטריצה <math> BA\in M_{p\times n}</math> ועמודותיה תהינה <math>Bc_1,Bc_2,\dotsldots,Bc_n </math> או לחילופין <math>(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^m a_ma_{ik}b_{kj}</math>.}}
[[קובץ:Block matrix qtl3.svg|מסגרת|מרכז|דוגמה לגודלה של מרטיצה המתקבלת מכפל שתי מטריצות. אם מספר העמודות של <math>A</math> שונה ממספר השורות של <math>B</math>, הכפל <math>AB </math> לא מוגדר. '''נשם לב''' על פי הגדרה של מכפלת המטריצות, מאחר שיש לנו מטריצה בגודל <math>4\times2</math> ומטריצה <math>2\times 3times3</math> אז נקבל מטריצה בגודל <math>4\times 3times3</math>]]
{{דוגמה|
מספר=1|
שם=כפל מטריצות|
תוכן=נדגים כפל עמודה עמודה. תהי <math>A=\begin{bmatrix}1 & 0 & 3\\3&2&6\end{bmatrix}</math> בגודל <math>2\times2</math> ולכן מטריצה <math>B</math> מוכרחת להיות בעלת עמודות בגודל 2.
תהי <math>B=\begin{bmatrix}1&2\\3&1\\1&0\end{bmatrix}</math>
3 & 2 & 6
\end{bmatrix}</math> בגודל <math>2\times 2</math> ולכן מטריצה <math>B</math> חייבתת להיות בעלת עמודות בגודל 2.
תהי <math>B=\begin{bmatrix}1 & 2 \\
3 & 1 \\
1&0
\end{bmatrix}</math>
'''אזי <math>BA\in M_{3\times 3times3}</math>'''
<math>Bc_1=\begin{bmatrixalign}1 & 2 \\
Bc_1=\begin{bmatrix}1&2\\3&1\\1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}7\\6\\1\end{bmatrix}\\
3 & 1 \\
Bc_2=\begin{bmatrix}1&2\\3&1\\1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4\\2\\0\end{bmatrix}\\
1&0
Bc_3=\begin{bmatrix}1&2\\3&1\\1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3\\6\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}15\\15\\3\end{bmatrix}
\end{bmatrix}
\end{align}</math>
מכאן <math>BA=\begin{bmatrix}1 7&4&15\\6&2&15\\1&0&3\end{bmatrix}</math>
3
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}7 \\
6\\
1
\end{bmatrix}
</math>
<math>Bc_2=\begin{bmatrix}1 & 2 \\
3 & 1 \\
1&0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}0\\
2
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}4\\
2\\
0
\end{bmatrix}
</math>
<math>Bc_3=\begin{bmatrix}1 & 2 \\
3 & 1 \\
1&0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}3\\
6
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}15\\
15\\
3
\end{bmatrix}
</math>
מכאן, <math>BA=
\begin{bmatrix}7&4&15 \\
6&2&15\\
1&0&3
\end{bmatrix}
</math>
לחילופין, ניתן לבצע סכום של שורה כפול כפול עמודה:
:<math>BA=\begin{bmatrix}1&2\\3&1\\1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0&3\\3&2&6\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\cdot1+2\cdot3&1\cdot0+2\cdot2&1\cdot3+2\cdot6\\
<math>BA=\begin{bmatrix}1 & 2 \\
3\cdot1+1\cdot3&3\cdot0+1\cdot2&3\cdot3+1\cdot6\\1\cdot1+0\cdot3&1\cdot0+0\cdot2&1\cdot3+0\cdot6\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}7&4&15\\6&2&15\\1&0&3\end{bmatrix}</math>
3 & 1 \\
1&0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}1 & 0 & 3\\
3 & 2 & 6
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
1*1+2*3 & 1*0 + 2*2 & 1*3 + 2*6\\
3*1+1*3 & 3*0 + 1*2 & 3*3 + 1*6\\
1*1+0*3 & 1*0 + 0*2 & 1*3 + 0*6\\
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
7&4&15\\
6&2&15\\
1&0&3
\end{bmatrix} </math>
'''אזי <math>AB\in M_{2\times 2}</math>:'''
:<math>\begin{align}
AC_1=1\cdot\begin{bmatrix}1\\3\end{bmatrix}+3\cdot\begin{bmatrix}0\\2\end{bmatrix}+1\cdot\begin{bmatrix}3\\6\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4\\15\end{bmatrix}\\AC_2=
2\cdot\begin{bmatrix}1\\3\end{bmatrix}+1\cdot\begin{bmatrix}0\\2\end{bmatrix}+0\cdot\begin{bmatrix}3\\6\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4\\15\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\8\end{bmatrix}
\end{align}</math>
אז <math>AB=\begin{bmatrix}4&2\\15&8\end{bmatrix}</math>
<math>AC_1=
1*\begin{bmatrix}
1 \\
3
\end{bmatrix}
+3*\begin{bmatrix}
0\\
2
\end{bmatrix}
+1*\begin{bmatrix}
3\\
6
\end{bmatrix}
כפי שניתן לראות כפל מטריצות אינו קומוטטיבי, <math>AB\ne BA</math>. כאשר <math>AB=BA</math> אז <math>A,B</math> נקראות "מתחלפות".
=\begin{bmatrix}
4 \\ 15
\end{bmatrix}
</math>
<math>AC_2=
2*\begin{bmatrix}
1 \\
3
\end{bmatrix}
+1*\begin{bmatrix}
0\\
2
\end{bmatrix}
+0*\begin{bmatrix}
3\\
6
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
4 \\ 15
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
2 \\ 8
\end{bmatrix}
</math>
אז
<math>AB=\begin{bmatrix}
4 & 2\\ 15 & 8
\end{bmatrix}</math>
כפי שניתן לראות כפל מטריצות לא קומוטטיבי, <math>AB\ne BA</math> . כאשר <math>AB=BA</math> אז <math>A,B</math> נקראות "מתחלפות".
}}
==האיבר במיקום ה-ה־<math>c_{ij}</math>==
{{הגדרה|
מספר=2|
שם=האיבר במיקום ה-ה־<math>c_{ij}</math>|
תוכן=תהא <math>A=\begin{bmatrix}a_{11} &\dots&a_{1n}\\\vdots& &\vdots\\a_{m1}&\dots&a_{mn}\end{bmatrix}\in M_{m\times n}</math>, ותהא <math>B=\begin{bmatrix}b_{11}&\dots&b_{1m}\\\vdots& a_&\vdots\\b_{1nl1}&\dots&b_{lm}\end{bmatrix}\in M_{p\times m}</math> אז המטריצה
<math> BA=C=\begin{bmatrix}c_{11}& &c_{1n}\\\\c_{l1}& &c_{ln}\end{bmatrix}\in M_{p\times n}</math>
\vdots & & \vdots\\
a_{m1} & \dots & a_{mn}
\end{bmatrix}\in M_{m\times n}</math> , ותהא <math>B=\begin{bmatrix}b_{11} & \dots & b_{1m}\\
\vdots & & \vdots\\
b_{l1} & \dots & b_{lm}
\end{bmatrix}\in M_{p\times m}</math> אז המטריצה <math> BA=C=\begin{bmatrix}c_{11} & & c_{1n}\\
\\
c_{l1} & & c_{ln}
\end{bmatrix}\in M_{p\times n}</math>
כאשר האיבר במיקום ה-ה־<math>c_{ij}</math> הינו <math>c_{ij}=b_{1j}\cdot a_{1j}+b_{i2}\cdot a_{2j}+...\cdots+b_{im}a_{mj}=\sum_{r=1}^mb_{ir}\cdot a_{rj}</math>
}}
{{דוגמה|
מספר=3|
שם=ערך האיבר במיקום ה-ה־<math>c_{ij}</math>|
תוכן=
<math>\begin{bmatrix}1&0&3\\4&1&2\\3&3&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&1&2\\3&1&0\\0&2&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\\& &c_{ij}\\\\\end{bmatrix}</math>
<math>\begin{bmatrix}1 & 0 & 3\\
4 & 1 & 2\\
3 & 3 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}1 & 1 & 2\\
3 & 1 & 0\\
0 & 2 & 1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}\\
& & c_{ij}\\
\\
\end{bmatrix}</math>
אז מאחר ש-ש־<math>c_{ij}</math> השורה השנייההשניה (<math>i=2</math>) ובעמודה השלישית (<math>j=3</math>) במטריצה שלנו, <math>c_{ij}=c_{23}=4*2\cdot2+1*0\cdot0+2*1\cdot1</math>
}}
{{אלגברה לינארית|מוגבל=כן}}
[[קטגוריה: אלגברה לינארית]]
| 