אלגברה לינארית/העתקות לינאריות: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Ysd2018 (שיחה | תרומות)
אין תקציר עריכה
מ החלפת קוד LaTeX מיושן mw:Extension:Math/Roadmap
שורה 6:
שם=העתקה לינארית (קריטריון מקוצר)|
תוכן=
יהיו <math>V,W</math> מרחבים וקטוריים מעל <math>\Bbbmathbb F</math> ותהי הפונקציה <math>T:V\to W</math> 0 (כלומר "העתקה <math>T</math> "לוקחת" מוקטורים ממרחב <math>V</math> מפעילה עליהם פעולות כך שהם יוצגו ב-<math>W</math>".)
:<math>T\left[\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}\right]=\begin{pmatrix}
a_{11}x_1&a_{12}x_2&\cdots&x_na_{1n}\\
שורה 15:
תיקרא העתקה לינארית (ובקיצור '''ה.ל''') אמ"מ מתקיימים התנאים הבאים:
*אדיטיביות: <math>\forall u,v\in V:T(u+v)=T(u)+T(v)</math>
*הומוגניות: <math>\forall\alpha\in\Bbbmathbb F,u\in V:T(\alpha u)=\alpha T(u)</math>
 
{{הוכחה|
תהי <math>T:V\to W</math> פונקציה. <math>T</math> היא ה.ל אמ"מ <math>\forall u,v\in V,\alpha\in\Bbbmathbb F;T(u+\alpha v)=T(u)+\alpha T(v)</math>
 
הוכחה: אם <math>T</math> ה.ל אזי <math>T(u+\alpha v)=T(u)+T(\alpha v)=T(u)+\alpha T(v)</math>
שורה 29:
 
===תכונות של העתקה===
היו <math>V,W</math> מ"ו מעל שדה <math>\Bbbmathbb F</math> . תהי <math>T:V\to W</math> ה.ל.
# <math>T(\vec0_V)=\vec0_W</math> כלומר העתקת האפס נותנת אפס.
#: הוכחה: <math>T\left(0_{V}\right)=T\left(0_{V}\cdot0_{F}\right)=0_{F}\cdot T\left(0_{V}\right)=0_{W}</math>
# <math>T\left(-v\right)=-T\left(v\right)</math>
#:הוכחה: <math>T\left(-v\right)=T\left(-1\cdot v\right)=-1\cdot T\left(v\right)=-T\left(v\right)</math>.
# העתקה שומרת על צירופים לינאריים:לכל סדרת וקטורים <math>v_1,\ldots,v_n\in V</math> ולכל סדרת סקלרים <math>c_1,\ldots,c_n\in\Bbbmathbb F</math> מתקיים <math>T(c_1v_1+\ldots+c_nv_n)=c_1T(v_1)+\ldots+c_nT(v_n)</math> (ובקיצור:<math>T\left(\sum_{i=1}^n\alpha_iu_i\right)=\sum_{i=1}^n\alpha_iT(u_i)</math>)
#: הוכחה: <math>T\left(c_{1}v_{1}+...c_{n}v_{n}\right)=T\left(c_{1}v_{1}\right)+...T\left(c_{n}v_{n}\right)=c_{1}\cdot T\left(v_{1}\right)+...+c_{n}\cdot T\left(v_{n}\right)</math> ובקיצור <math>T\left(\sum_{i=1}^n\alpha_iu_i\right)=\sum_{i=1}^nT(\alpha_iu_i)=\sum_{i=1}^n\alpha_iT(u_i)</math>