אלגברה לינארית/משפטים של גרעין ותמונה: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ הוספת קטגוריה:אלגברה לינארית באמצעות HotCat |
|||
שורה 1:
==משפטים==
{{משפט|
מספר=
שם=יהיו <math>V,W</math> מ"ו מעל <math>\mathbb{F}</math> ו-<math> T:V\to W</math> ה"ל אז העתקה <math>T</math> היא על אם ורק אם <math>ImT=W</math>. |
תוכן=
}}
{{משפט|
מספר=
שם=יהיו <math>V,W</math> מ"ו מעל <math>\mathbb{F}</math> ו-<math> T:V\to W</math> ה"ל אז העתקה <math>T</math> היא חח"ע אם ורק אם <math>\ker T=\left\{ 0\right\}</math> .|
תוכן=
שורה 16:
נניח כי <math>\ker T=\left\{ 0\right\}</math> ונוכיח כי T חח"ע. ניקח <math>v_{1},v_{2}\in V</math> כאשר <math>v_{1}\ne v_{2}</math>. נניח בשלילה כי <math>T\left(v_{1}\right)=T\left(v_{2}\right)</math> אז <math>T\left(v_{1}\right)-T\left(v_{1}\right)=T\left(v_{1}-v_{2}\right)=0</math> ולכן <math>v_{1}-v_{2}\in\ker T=\left\{ 0\right\}</math> כלומר <math>v_{1}=v_{2}</math>, סתירה להנחה ש <math>v_{1}\ne v_{2}</math>.
}}
{{דוגמה|
מספר=1|
שם=דוגמאות למשפט 1 ולמשפט 2|
תוכן=
# <math>0:V\to W</math> העתקת אפס מ<math>V</math> ל<math> W</math> אז <math>img 0=0</math> ו-<math>\ker0=V</math>.
# <math> Id_{V}:V\to V</math> אז <math>img Id_{v}=V</math> ו<math> \ker Id_{v}=0</math>.
# <math> A \in M_{ m\times n}</math> <math>T_{A}:\mathbb{F}^{n}\to\mathbb{F}^{m}, T_{A}\left(v\right)=Av</math> לכל <math>v\in\mathbb{F}^{n}</math> אז
#* קבוצת הפתרונות של מ"מ הומוגנית עם מטריצה היא הגרעין : <math>A: \ker T_{A}=\left\{ v\in\mathbb{F}^{n}\mid Av=0\right\} </math>
# קבוצת הפתרונות של מ"מ עם מטריצה היא התמונה : <math>ImT_{A}=\left\{ Av\mid v\in\mathbb{F}^{n}\right\} =\left\{ b\in\mathbb{F}^{m}\mid Ax=b\,has\,a\,solution\ or\ more\right\} </math>
#<math> D:\mathbb{R}\left[\left[x\right]\right]\to\mathbb{R}\left[\left[x\right]\right]</math> , ההעתקה הליניארית של הנגזרת: <math>D\left(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...\right)=a_{1}+2a_{2}x+...</math> אז <math> \ker D=\left\{ a_{0}+0x+0x^{2}\mid a_{0}\in\mathbb{R}\right\} img D=\R\left[\left[x\right]\right]</math> כי אם <math>b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}+...\in\R\left[\left[x\right]\right]</math> אז הנגזרת <math>D\left(0+b_{0}x+\frac{b_{1}}{2}x^{2}+\frac{b_{2}}{3}x^{3}+...\right)</math> כלומר <math>f\in img D</math>.
# <math>\mathbb{F}</math> שדה, <math>S</math> קבוצה ו <math>s\in S, T_{s}:\mathbb{F}^{S}\to\mathbb{F}</math>, ו<math> T_{s}\left(f\right)=f\left(s\right)</math>.אז <math>\ker T_{s}=\left\{ f\in\mathbb{F}^{S}\mid f\left(s\right)=0\right\}</math>. בנוסף <math>img T_{s}=\mathbb{F}</math>, כי אם <math>c\in\mathbb{F}</math>, נגדיר <math>f:S\to\mathbb{F}</math> ע"י הפונקציה <math>f\left(x\right)=c</math> לכל <math>x\in\mathbb{F}</math>.אז <math>T_{s}\left(f\right)=f\left(s\right)=c</math>, כלומר <math>C\in img\left(T_{s}\right)</math>.
}}
{{משפט|
מספר=8.1|
שורה 28 ⟵ 39:
}}
{{משפט|
| |||