|
מספר=2|
שם=מטריצה הופכית והפיכה|
תוכן=מטריצה תיקרא הפיכה אם הפיכה מימין וגם משמאל כלומר אם מתקיים <math>AB=BA=I_{n}I_n</math>
נסמן <math>B=A^{-1}</math> (לאור תכונת יחידויות המטריצה ההפכית)
}}
{{טענה|
מספר=1|
שם= אם <math>A,B</math> הפוכות זו לזו, וגם <math>A,C </math> הפוכות זו לזו, אז <math>B=C</math>|
|תוכן= נוכיח את יחידויות המטריצה ההפוכה <math>B=I_{n}BI_nB=\left(CA\right)\cdot B=C\left(AB\right)=C\cdot I_{n}I_n=C.</math>
}}
{{טענה|
מספר=2|
שם= לכל פעולת שורה אלמנטרית קיימת פעולת שורה אלמנטרית הפוכה
|תוכן=אם <math>\epsilonvarepsilon:R_{i}R_i\to c\cdot R_{i}R_i</math> אז <math>\delta:R_{i}R_i\to\frac{1}{c}frac1c\cdot R_{i}.R_i</math>
אם <math>\epsilonvarepsilon:R_{i}R_i\to R_{i}R_i+cR_{j}cR_j</math> ו-ו־<math> i\ne j </math> אז <math>\delta:R_{i}R_i\to R_{i}R_i-cR_{j}cR_j</math>.
אם <math>\epsilonvarepsilon:R_{i}R_i\leftrightarrowlrarr R_{j}R_j</math> אז גם <math>\delta=\epsilonvarepsilon</math>
}}
{{טענה|
מספר=3|
שם= אם <math>\epsilonvarepsilon,\delta </math> הן פעולות שורה אלמנטריות הפוכות זו לזו, ו-ו־<math>E,D </math> אלמנטריות שמתאימות בהתאמה לפעולות <math>\epsilonvarepsilon,\delta</math>, אז <math>E,D</math> הפוכות זו לזו.
|תוכן=
}}
{{טענה|
מספר=4|
שם= לכל מטריצה אלמנטרית יש מטריצה אלמנטרית הפוכה |
תוכן=תהי <math>A\in M_{n\times m}</math>, פעולה אלמנטרית הפוכה <math>\ epsilonvarepsilon</math> ו-ו־<math>\delta</math> הפעולה האלמנטרית ההפוכה כך שהמטריצות האלמנטריות המתקבלות מהן מקיימות, <math>\Epsilon\Delta = I_m</math> אז על פי אסוסטיביותאסוציאטיביות של הכפל <math>\ epsilonvarepsilon(\delta(A))=(\ epsilonvarepsilon\delta)(A)=\underbrace{I_mA} _{A}_A=(\delta\ epsilonvarepsilon)(A)=\delta(\ epsilonvarepsilon(A)) </math> ▼
תוכן=
▲תהי <math>A\in M_{n\times m}</math>, פעולה אלמנטרית הפוכה <math>\epsilon</math> ו-<math>\delta</math> הפעולה האלמנטרית ההפוכה כך שהמטריצות האלמנטריות המתקבלות מהן מקיימות, <math>\Epsilon\Delta = I_m</math> אז על פי אסוסטיביות של הכפל <math>\epsilon(\delta(A))=(\epsilon\delta)(A)=\underbrace{I_mA}_{A}=(\delta\epsilon)(A)=\delta(\epsilon(A)) </math>
}}
{{טענה|
מספר=4|
שם= לכל מטריצה אלמנטרית קיימת מטריצה הפוכה
|תוכן=
}}
{{טענה|
מספר=5|
שם=מכפלת מטריצות הפיכות, AB הפיכה אם"ם A הפיכה וגם B הפיכה
|תוכן=
תהי <math>A,B\in M_{nXnn\times n}</math>.
<math>AB</math> הפיכה אם"ם <math>A</math> הפיכה ו-ו־<math>B</math> הפיכה.
מכיוון ראשון, נתון כי <math>AB</math> הפיכה ולכן קיימת לה מטריצה הפוכה נסמנה <math>Q=(BA)^{-1}</math> אזי מתקיים ש-<math>Q(AB)=I_n</math>.
נוכיח כי <math>A</math> הפיכה: <math>I_n=Q(AB)=(AB)Q=A(BQ)=(AB)Q=I_n</math> על פי כפל של שלושה מטריצות שווה זה לזה.
נוכיח כי <math>B</math> הפיכה: <math>Q(AB)=(QA)B=I_n</math>
מכיוון שני נתון כי <math>A</math> הפיכה ו-ו־<math>B</math> הפיכה ולכן קיימות להן בהתאמה מטריצות הופכיות: <math>AA^{-1}=I_n,\ BB^{-1}=I_n</math>.
נוכיח כי <math>AB</math> הפיכה: <math>I_n=A*\cdot A^{-1}=A*\cdot I_n*\cdot A^{-1}=A(B*\cdot B^{-1})A^{-1}=(AB)(B^{-1}A^{-1})</math>
'''מסקנה: תהי מטריצה <math>A\in M_{nxnn\times n}</math>. קיימת <math>R</math> מטריצה מדורגת מצומצמת המתקבל מ-מ־<math>A</math> ע"י סדרה של פעולות שורה אלמנטריות אז קיימת <math>P\in M_{mxmm\times m}</math> הפיכה כךעבורה ש-<math>R=PA</math>.'''
}}
{{טענה|
מספר=5|
שם= <math>A\in M_{nxnn\times n}</math> הפיכה אם ורק אם המטריצה המדורגת מצומצמת שלה <math>R</math> היא <math>I_{n}I_n</math>
|תוכן=
צ"ל נתונה מטריצה <math>A\in M_{ nxnn\times n}</math>, ו-ו־<math> R</math> היא מטריצה מדורגת מצומצמת המתקבלת מ-מ־<math>A</math> ע"י פעולות שורה אלמנטריות אז <math>A</math> הפיכה אם ורק אם המטריצה <math>R= I_{n}I_n</math>. ▼
מכיוון ראשון, תהי <math>R=I_n</math>
▲צ"ל נתונה מטריצה <math>A\in M_{nxn}</math>, ו-<math> R</math> היא מטריצה מדורגת מצומצמת המתקבלת מ-<math>A</math> ע"י פעולות שורה אלמנטריות אז <math>A</math> הפיכה אם ורק אם המטריצה <math>R=I_{n}</math>.
מכיוון ראשון, תהיצ"ל: <math>R=I_{n}A</math> הפיכה.
צ"ל נתון: <math>AI_n=R</math> הפיכה.
לפי המסקנה קיימת מטריצה הפיכה <math>P</math> כך שעבורה <math> I_{n}I_n=R=PA</math>. ▼נתון: <math>I_{n}=R</math>.
▲לפי המסקנה קיימת מטריצה הפיכה <math>P</math> כך ש <math>I_{n}=R=PA</math>.
נותר להוכיח כי <math>A</math> הפיכה:
<math>P</math> הפיכה ולכן קיימת מטריצה <math>Q</math> הפוכה ל ל־<math>P</math> (כלומר <math>Q=P^{-1}</math>).
נתבונן בביטוי <math>Q=Q\cdot I_{n}I_n=Q\cdot\left(PA\right)=\left(QP\right)A=I_{n}AI_nA=A</math>. לכן <math>Q=A</math>, ו-ו־<math>A,P</math> הפוכות זו לזו, ולכן <math>A</math> הפיכה.
<u>מכיוון שני: </u>
נתון כי <math>A</math> הפיכה.
צ"ל : <math>R=I_{n}I_n</math>
לפי המסקנה קיימת מטריצה הפיכה <math>P</math> כך שעבורה <math>R=PA</math>.
נניח בשלילה ש-כי <math>R\ne I_{n}I_n</math>. לכן מספר האיבריםהאברים המובילים ב-ב־<math>R</math> קטן מ-מ־<math> n</math> ועל כן קיימת לפחות שורת אפסים בשורה האחרונה של <math>R</math>.
<math>A,P</math> הפיכות ולכן קיימות מטריצות <math>B,Q</math> הפוכות למטריצות <math>A,P</math> בהתאמה.
:<math>R(BQ)=(PA)(BQ)=P\bigl((AB)Q\bigr)=P(I_nQ)=PQ=I_n</math>
בסתירה לכך ש-ש־<math>R</math> היא מטריצה עם שורת אפסים. הרי כפל של המטריצות <math>R \left(BQ \right)</math> הוא כפל של מטריצה <math>R</math> עם [[אלגברה לינארית/תכונות כפל מטריצות|שורה אחרונה של שורת אפסים]], ולכן מכפלת שורת אפסים תניב שורה של אפסים. ▼<math>R\left(BQ\right)=\left(PA\right)\left(BQ\right)=P\left(\left(AB\right)Q\right)=P\left(I_{n}Q\right)=PQ=I_{n}
</math>
▲בסתירה לכך ש-<math>R</math> היא מטריצה עם שורת אפסים. הרי כפל של המטריצות <math>R\left(BQ\right)</math> הוא כפל של מטריצה <math>R</math> עם [[אלגברה לינארית/תכונות כפל מטריצות|שורה אחרונה של שורת אפסים]], ולכן מכפלת שורת אפסים תניב שורה של אפסים.
}}
{{טענה|
מספר=6|
שם=אם <math>A</math> מטריצה הפיכה בגודל <math> n\times n </math> וגם <math>I_{n}I_n</math> מתקבלת מ-מ־<math>A</math> ע"י סדרה של פעולות שורה אלמנטריות, אז המטריצה ההפוכה ל ל־<math>A</math> מתקבלת מ-מ־<math>I_{n}I_n</math> מאותה סדרה של פעולות שורה אלמנטריות.
|תוכן= נדבר פה על מטריצות ריבועיות בלבד כיון שרק אז מתקיים שאם <math>A</math> הפיכה יש לה הופכי יחיד, אותו נרצה למצוא.
כדי למצוא את ההופכי של <math>A</math> נדרג קנונית ככה שתצא המטריצה <math>I</math> . אם לא אפשרי, <math>A</math> לא הפיכה. כעת אותם פעולות שורה שעשינושבצענוו על <math>A</math>, נעשהנבצע לפי אותו סדר על <math>I</math> וכך נקבל את <math>A^{-1}</math> .
ההסבר לנכונות תהליך זה הוא שפעולת שורה הוא בעצם כפל במטריצה <math>I</math> עם אותה פעולת שורה עליה מצד שמאל. לכן, אם יש לי רצף של פעולות שורה <math>E_1,E_2,\dotsldots,E_k</math> כך ש-עבורן <math>E_1\cdot E_2\cdots E_{k-1}\cdot E_k\cdot A=I</math> (זהו בעצם הפעלת <math>k</math> פעולות שורה על <math>A</math> כך שנגיע בסוף ל-ל־<math>I</math>) אז הרי <math>(E_1\cdot E_2\cdots E_{k-1}\cdot E_k)</math> היא מטריצה שע"י כפל ב- ב־<math>A</math> נקבל את <math>I</math> ומיחידות ההופכי נגלה ש- כי
:<math>E_1\cdot E_2\cdots E_{k-1}\cdot E_k=E_1\cdot E_2\cdots E_{k-1}\cdot E_k\cdot I=A^{-1}</math> .{{ש}}
זה בעצם אומר שהכפל הזה של המטריצות הוא כמו אותו דבר רק כפל ב-I שזה לעשות את אותם פעולות שורה לפי הסדר על <math>I</math>
}}
{{דוגמה|
מספר=1|
שם=מציאת מטריצה הפכית מתוך טענה קודמת|
תוכן=
:<math> A:I = \left[ \begin{array}{ccc|ccc}1&-1&-2&1&0&0\\2&-3&-5&0&1&0\\-1&3&5&0&0&1\end{array}\right]</math>
1 & -1 & -2 & 1 & 0 & 0\\
2 & -3 & -5 & 0 & 1 & 0\\
-1 & 3 & 5 & 0 & 0 & 1
\end{array} \right] </math>
ונדרגה:
'''חיסור השורה הראשונה כפול 2 מהשורה השנייההשניה, וחיבור השורה הראשונה לשורה השלישית:'''
:<math>\left[\begin{array}{ccc|ccc}1&-1&-2&1&0&0\\0&-1&-1&-2&1&0\\0&2&3&1&0&1\end{array}\right]</math>
'''הכפלת השורה השנייההשניה ב-1ב־1-:''' ▼<math> \left[ \begin{array}{ccc|ccc}
:<math>\left[\begin{array}{ccc|ccc}1&-1&-2&1&0&0\\0&1&1&2&-1&0\\0&2&3&1&0&1\end{array}\right]</math>
1 & -1 & -2 & 1 & 0 & 0\\
'''חיבור השורה השנייההשניה לראשונה, וחיסור השורה השנייההשניה כפול 2 מהשורה השלישית:''' ▼0 & -1 & -1 & -2 & 1 & 0\\
:<math>\left[\begin{array}{ccc|ccc}1&0&-1&3&-1&0\\0&1&1&2&-1&0\\0&0&1&-3&2&1\end{array}\right]</math>
0 & 2 & 3 & 1 & 0 & 1
'''חיבור השורה השלישית לשורה הראשונה, וחיסור השורה השלישית מהשורה השנייההשניה:''' ▼\end{array} \right]
:<math>\left[\begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&0&1&1\\0&1&0&5&-3&-1\\0&0&1&-3&2&1\end{array}\right]</math>
</math>
▲'''הכפלת השורה השנייה ב-1-:'''
<math>
\left[ \begin{array}{ccc|ccc}
1 & -1 & -2 & 1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 1 & 2 & -1 & 0\\
0 & 2 & 3 & 1 & 0 & 1
\end{array} \right]
</math> <math>
\ \
</math>{{ש}}
▲'''חיבור השורה השנייה לראשונה, וחיסור השורה השנייה כפול 2 מהשורה השלישית:'''
<math>
\left[ \begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & -1 & 3 & -1 & 0\\
0 & 1 & 1 & 2 & -1 & 0\\
0 & 0 & 1 & -3 & 2 & 1
\end{array} \right]
</math> <math>
\ \
</math>{{ש}}
▲'''חיבור השורה השלישית לשורה הראשונה, וחיסור השורה השלישית מהשורה השנייה:'''
<math>
\left[ \begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1\\
0 & 1 & 0 & 5 & -3 & -1\\
0 & 0 & 1 & -3 & 2 & 1
\end{array} \right]
</math>
ולכן
מאחר שקבלנו מטריצה יחידה מצדו השמאלי אז המטריצה הפיכה והמטריצה ההופכית שלה היא <math>
:<math>A^{-1}=\begin{bmatrix}0&1&1\\5&-3&-1\\-3&2&1\end{bmatrix}</math>
A^{-1} =
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 1\\
5 & -3 & -1\\
-3 & 2 & 1
\end{bmatrix}
</math> <math>
\ \
</math>{{ש}}
}}
[[קטגוריה:אלגברה לינארית]]
| 