אלגברה לינארית/כפל מטריצה בווקטור: הבדלים בין גרסאות בדף

תהי מטריצה <math>A</math> בגודל <math>m\times n </math> וגם הווקטור <math>\vec v\in\R^{n}</math>.

אז נייצג את הווקטור <math> v=\begin{bmatrix}v_v_1\\\vdots\\v_n\end{1bmatrix}</math> ואת המטריצה <math>A=(C_1,\\ldots,C_n)</math>.

אז מכפלה של המטריצה בווקטור מוגדרת כפל ווקטוריםוקטורים: <math>A\cdotvec v=v_{1}C_{1}v_1C_1+v_{2}C_{2}\cdots+...+v_{n}C_{n}v_nC_n\in\R^{m}</math>

דוגמא: <math>A=\begin{bmatrix}1&5&3\\4&5&0\end{bmatrix}\quad,\vec v=\begin{bmatrix}3\\1\\0\end{bmatrix}</math>

תהי מטריצה <math>A=\begin{bmatrix}a_{11} & \dots & a_{1n}\\\vdots&&\vdots\\a_{m1}&\dots&a_{mn}\end{bmatrix}</math> בגודל <math>m\times n</math> ו־<math>v=\begin{bmatrix}v_1\\\vdots\\v_n\end{bmatrix}\in\R^n</math>

בגודלאז <math> mA\timesvec n</math> ו- <math>v=\vec w=\begin{bmatrix}v_{1}w_1\\\vdots\\w_m\end{bmatrix}</math>

כאשר <math> w_\begin{1align}w_1&=v_{1}\cdot a_v_1a_{11}+v_{2}\cdot a_v_2a_{12}+...\cdots+v_v_na_{n1n}\cdot a_{1n}</math> וכן הלאה עד <math>w_{m}\\vdots&\\w_m&=v_{1}\cdot a_v_1a_{m1}+v_{2}\cdot a_v_2a_{m2}+...\cdots+v_v_na_{nmn}\cdot a_end{mnalign}</math>.

כלומר אם <math>C_{i}C_i=\begin{bmatrix}a_{1i}\\\vdots\\a_{mi}\end{bmatrix}</math> הוא טור <math>i</math> ב־<math>A</math> אז <math>Av=v_1C_1+\cdot+v_nC_n\in\R^m</math>.

ניתן לייצג באופן סכמתי בתור <math>w_{i}w_i={\sum}^n_sum_{j=1}a_^na_{ij}v_{j}v_j</math>.

אם נתונה מערכת משוואות לינארית עם מטריצה מורחבת <math>[A|b]</math> כאשר <math>A=\begin{bmatrix}A|a_{11}&\dots&a_{1n}\\\vdots&&\vdots\\a_{m1}&\dots&a_{mn}\end{bmatrix},\quad\vec b=\begin{bmatrix}b_1\\\vdots\\b_m\end{bmatrix}</math>

אז ניתן לרשום את המערכת בצורה <math>AxA\vec x=b\vec b</math> כאשר <math>\vec x=\begin{bmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{bmatrix}</math> וקטור שרכיביו הם הנעלמים.

דוגמא: <math>A=\begin{bmatrix}1&5&3\\4&5&0\end{bmatrix}\quad,\vec v=\begin{bmatrix}3\\1\\0\end{bmatrix}</math>

# <math>Ae_A\vec{ie}_i=c_\vec{ic}_i</math>, לדוגמה,למשל <math>\begin{bmatrix}1&5&3\\4&5&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5\\5\end{bmatrix}</math>