אלגברה לינארית/כפל מטריצה בווקטור: הבדלים בין גרסאות בדף

אין תקציר עריכה
אין תקציר עריכה
==מכפלה של מטריצה בוקטור - שורה של וקטור כפול עמודה במטריצה==
תהי מטריצה <math>A</math> בגודל <math>m\times n </math> וגם הווקטור <math>\vec v\in\R^{n}</math>.
 
אז נייצג את הווקטור <math> v=\begin{bmatrix}v_v_1\\\vdots\\v_n\end{1bmatrix}</math> ואת המטריצה <math>A=(C_1,\\ldots,C_n)</math>.
\vdots\\
v_{n}
\end{bmatrix}</math> ואת המטריצה <math>A=\left(C_{1},...,C_{n}\right)</math>.
 
אז מכפלה של המטריצה בווקטור מוגדרת כפל ווקטוריםוקטורים: <math>A\cdotvec v=v_{1}C_{1}v_1C_1+v_{2}C_{2}\cdots+...+v_{n}C_{n}v_nC_n\in\R^{m}</math>
</math>
 
דוגמא: <math>A=\begin{bmatrix}1&5&3\\4&5&0\end{bmatrix}\quad,\vec v=\begin{bmatrix}3\\1\\0\end{bmatrix}</math>
1 & 5 & 3\\
4 & 5 & 0
\end{bmatrix}</math>
 
אז מכפלתם: <math>A\vec v=3\cdot\begin{bmatrix}1\\4\end{bmatrix}+1\cdot\begin{bmatrix}5\\5\end{bmatrix}+0\cdot\begin{bmatrix}3\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\\12\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}5\\5\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}8\\17\end{bmatrix}\in\R^2</math>
וגם הווקטור <math> V=\begin{bmatrix}3\\
1\\
0
\end{bmatrix}</math>
 
אז מכפלתם : <math>Av=3\cdot\begin{bmatrix}1\\
4
\end{bmatrix}+1\cdot\begin{bmatrix}5\\
5
\end{bmatrix}+0\cdot\begin{bmatrix}3\\
0
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\\
12
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}5\\
5
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\\
0
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}8\\
17
\end{bmatrix}\in\R^{2}</math>
 
==מכפלה של מטריצה שורה של מטריצה כפול עמודת הוקטור==
תהי מטריצה <math>A=\begin{bmatrix}a_{11} & \dots & a_{1n}\\\vdots&&\vdots\\a_{m1}&\dots&a_{mn}\end{bmatrix}</math> בגודל <math>m\times n</math> ו־<math>v=\begin{bmatrix}v_1\\\vdots\\v_n\end{bmatrix}\in\R^n</math>
\vdots & & \vdots\\
a_{m1} & \dots & a_{mn}
\end{bmatrix}</math>.
 
בגודלאז <math> mA\timesvec n</math> ו- <math>v=\vec w=\begin{bmatrix}v_{1}w_1\\\vdots\\w_m\end{bmatrix}</math>
\vdots\\
v_{n}
\end{bmatrix}\in\R^{n}</math>
אז <math>Av=w=\begin{bmatrix}w_{1}\\
\vdots\\
w_{m}
\end{bmatrix}</math>
 
כאשר <math> w_\begin{1align}w_1&=v_{1}\cdot a_v_1a_{11}+v_{2}\cdot a_v_2a_{12}+...\cdots+v_v_na_{n1n}\cdot a_{1n}</math> וכן הלאה עד <math>w_{m}\\vdots&\\w_m&=v_{1}\cdot a_v_1a_{m1}+v_{2}\cdot a_v_2a_{m2}+...\cdots+v_v_na_{nmn}\cdot a_end{mnalign}</math>.
 
כלומר אם <math>C_{i}C_i=\begin{bmatrix}a_{1i}\\\vdots\\a_{mi}\end{bmatrix}</math> הוא טור <math>i</math> ב־<math>A</math> אז <math>Av=v_1C_1+\cdot+v_nC_n\in\R^m</math>.
\vdots\\
a_{mi}
\end{bmatrix} </math> הוא טור <math>i</math> ב-<math>A</math>. אז <math>Av=v_{1}C_{1}+...+v_{n}C_{n}\in\R^{m}</math>. מכפלת מטריצה בוקטור.
 
ניתן לייצג באופן סכמתי בתור <math>w_{i}w_i={\sum}^n_sum_{j=1}a_^na_{ij}v_{j}v_j</math>.
 
אם נתונה מערכת משוואות לינארית עם מטריצה מורחבת <math>[A|b]</math> כאשר <math>A=\begin{bmatrix}A|a_{11}&\dots&a_{1n}\\\vdots&&\vdots\\a_{m1}&\dots&a_{mn}\end{bmatrix},\quad\vec b=\begin{bmatrix}b_1\\\vdots\\b_m\end{bmatrix}</math>
</math>
כאשר <math> A=\begin{bmatrix}a_{11} & ... & a_{1n}\\
\vdots & & \vdots\\
a_{m1} & \dots & a_{mn}
\end{bmatrix}</math>
ו <math>b=\begin{bmatrix}b_{1}\\
\vdots\\
b_{m}
\end{bmatrix} </math>
 
אז המערכת היא
<math>\begin{cases}a_{11}x_1+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\\vdots\\a_{m1}x_1+\cdots+a_{mn}x_n=b_m\end{cases}</math>
<math> \begin{cases}
a_{11}x_{1}+...+a_{1n}x_{n}=b_{1}\\
\vdots\\
a_{m1}x_{1}+\dots+a_{mn}x_{n}=b_{m}
\end{cases}
</math>
 
אז ניתן לרשום את המערכת בצורה <math>AxA\vec x=b\vec b</math> כאשר <math>\vec x=\begin{bmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{bmatrix}</math> וקטור שרכיביו הם הנעלמים.
<math>
x=\begin{bmatrix}x_{1}\\
\vdots\\
x_{n}
\end{bmatrix} </math>
וקטור שרכיביו הם הנעלמים.
 
דוגמא: <math>A=\begin{bmatrix}1&5&3\\4&5&0\end{bmatrix}\quad,\vec v=\begin{bmatrix}3\\1\\0\end{bmatrix}</math>
1 & 5 & 3\\
4 & 5 & 0
\end{bmatrix}</math>
 
אזי <math>\begin{bmatrix}1&5&3\\4&5&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3\\1\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\cdot3+5\cdot1+3\cdot0\\4\cdot3+5\cdot1+0\cdot0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}8\\17\end{bmatrix}</math>
וגם הווקטור <math> V=\begin{bmatrix}3\\
1\\
0
\end{bmatrix}</math>
 
אזי
<math>
\begin{bmatrix}
1 & 5 & 3\\
4 & 5 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
3\\
1\\
0
\end{bmatrix}
 
=
\begin{bmatrix}
1*3+5*1+3*0
\\
4*3+5*1+0*0
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
8\\
17
\end{bmatrix}
 
</math>
 
==תכונות==
# <math>Ae_A\vec{ie}_i=c_\vec{ic}_i</math>, לדוגמה,למשל <math>\begin{bmatrix}1&5&3\\4&5&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5\\5\end{bmatrix}</math>
#יהי <math>\vec v=\begin{bmatrix}v_1\\\vdots\\v_n\end{bmatrix}\in\R^n</math> אז <math>I_n\vec v=v_1\vec{e}_1+\cdots+v_n\vec{e}_n=\vec v</math>. למשל <math>\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}</math>
1 & 5 & 3\\
4 & 5 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0\\
1\\
0
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
5\\
5\end{bmatrix}</math>
 
# יהי <math>v=\begin{bmatrix}v_{1}\\
\vdots\\
v_{n}
\end{bmatrix}\in\R^{n}</math> אז <math>I_{n}v=v_{1}e_{1}+\dots+v_{n}e_{n}=v</math>. דוגמה, <math>\left[\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
1\\
1\\
1
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
1\\
1\\
1
\end{array}\right]</math>
 
 
[[קטגוריה:אלגברה לינארית]]