אלגברה לינארית/מטריצה מייצגת: הבדלים בין גרסאות בדף

שם=12 מטריצה מייצגת - מטריצת מעבר מבסיס B לבסיס C|

יהיו <math>V,W </math> מ"ו מעל <math>\mathbb{Bbb F}</math>, <math>B=\left(v_{1}v_1,..\ldots,v_{n}\rightv_n)</math> ו<math> ,C=\left(w_{1}w_1,..\cdots,w_{m}\rightw_m)</math> הם בסיסים סדורים של <math>V,W</math> בהתאמה. (כלומר <math>V,W</math> נוצרים סופית, ומימדיהם <math>n,m</math> בהתאמה). תהי <math>T:V\to W</math> ה"ל. המטריצה המייצגת של <math>T</math> ביחס לבסיסים <math>B,C</math> היא המטריצה <math>A</math> כך שהעמודה הה־<math>j</math> של <math>A</math> היא <math> \leftbigl[T\left(v_{j}\rightv_j)\rightbigr]_{C_C</math>}}

שם=קיום מטריצה <math>T</math> יחידה|

תוכן=יהיו <math>V,W</math> מ"ו מעל <math>\mathbb{Bbb F}</math>, <math>B=\left(v_{1}v_1,..\ldots,v_{n}\rightv_n)</math> ו<math> ,C=\left(w_{1}w_1,..\cdots,w_{m}\rightw_m)</math> הם בסיסים של <math>V,W</math> בהתאמה.

<math>A\in M_{m\times n}</math> עם מקדמים בב־<math> \mathbb{Bbb F}</math> אז קיימת העתקה ליניאריתלינארית <math> T:V\to W</math> יחידה כךעבורה ש<math>\left[T\right]_{C}_C^{B}=A</math>.

{{הוכחה|נסמן את המקדמים של <math>A</math> ב ב־<math>a_{ij}</math> (שורה <math>i</math> עמודה <math>j</math>), כלומר <math>A=\begin{pmatrixbmatrix}a_{11} & \cdots & a_{1n}\\\vdots&&\vdots\\a_{m1}&\cdots&a_{mn}\end{bmatrix}</math>.

לפי המשפט קיום ויחידות ה"ל, קיימת <math>T:V\to W</math> יחידה כך שעבורה <math>T\left(v_{j}\rightv_j)=a_{1j}w_{1}w_1+...\cdots+a_{mj}w_{m}w_m</math> אז <math>\left[T\right]_{C}_C^{B}=A</math>}}

שם=<math>\left[T\right]_{C}_C^{B}\cdot\left[v\right]_{B}_B=\leftbigl[T\left(v\right)\rightbigr]_{C}_C</math> הכנסת ווקטור <math>B</math> אל ההעתקה "מייצר" ווקטורים בבסיס <math>C</math> |

יהיו <math> V,W</math> מ"ו מעל <math>\mathbb{Bbb F}</math>, <math>B=\left(v_{1}v_1,..\ldots,v_{n}\rightv_n)</math> ו<math> ,C=\left(w_{1}w_1,..\cdots,w_{m}\rightw_m)</math> הם בסיסים של <math>V,W</math> בהתאמה. יהי <math>v\in V</math>. אז <math>\left[T\right]_{C}_C^{B}\cdot\left[v\right]_{B}_B=\leftbigl[T\left(v\right)\rightbigr]_{C}_C</math>

בנוסף מהמטריצה <math>T</math> (ראה הוכחה לעיל) נקבל: <math>\leftbigl[T\left(v_v_j)\bigr]_C=\begin{jbmatrix}a_{ij}\right\\vdots\\a_{mj}\end{bmatrix}</math>, כלומר <math>\bigl[T(v_j)\rightbigr]__C=a_{1j}w_1+\cdots+a_{Cmj}w_m=\beginsum_{pmatrixi=1}a_^mma_{ij}\\w_i</math>

נבצע העתקה על v* ונקבל :<math>T\left(v\right)=T\left(\sum^m_sum_{j=1}nc_{j}v_{j}^mnc_jv_j\right)=\sum^m_sum_{j=1}nc_{j}T\left^mnc_jT(v_{j}\rightv_j)=\sum^m_sum_{j=1}nc_{j}^mnc_j\left(\sum^m_sum_{ij=1}ma_^mma_{ij}w_{i}w_i\right)\overbrace{=}^{*}\sum^m_sum_{j=1}n\sum^m_mn\sum_{ij=1}ma_^mma_{ij}\cdot c_{j}c_j\cdot w_{i}w_i=\sum^m_sum_{ij=1}m^mm\left(\sum^m_sum_{j=1}na_^mna_{ij}\cdot c_{j}c_j\right)\cdot w_{i}</math>

'''מסקנה:''' בהינתן מ"ו עם בסיס סדור <math>B=\left(v_{1}v_1,..\ldots,v_{n}\rightv_n)</math>, קיימת ה"ל הפיכה <math> T_{B}T_B:\mathbbBbb{F}^{n}\to V</math> המוגדרת ע"ׁי <math>T_{B}T_B\begin{pmatrixbmatrix}c_c_1\\\vdots\\c_n\end{1bmatrix}=c_1v_1+\\cdots+c_nv_n</math>.

תהי <math>T:V\to W</math> ה"ל. נסמן <math>A=\left[T\right]_{C}_C^{B}</math>.

<math>T_{A}\leftT_A(x\right)=Ax\,\,\,T_{A}quad T_A:\mathbbBbb{F}^{n}\to\mathbbBbb{F}^{m}</math>

שם=<math> T_{A}T_A\circ S_{B}S_B=S_{C}S_C\circ T</math>|

תוכן=למעשה נותר לנו רק להוכיח כי ההרכבות של העתקות שוות:

נשים לב שכי <math>S_{C}S_C\circ T:V\to\mathbbBbb{F}^{m}</math> וגם <math>T_{A}T_A\circ S_{B}S_B\to\mathbbBbb{F}^{m}</math>.

נבחר <math> v\in V</math> אז <math>\left(S_{C}S_C\circ T\right)\left(v\right)=S_{C}S_C\leftbigl(T\left(v\right)\rightbigr)=\leftbigl[T\left(v\right)\rightbigr]_{C}_C</math>