אלגברה לינארית/שחלוף מטריצה: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Mathreturn (שיחה | תרומות)
Ysd2018 (שיחה | תרומות)
אין תקציר עריכה
שורה 1:
===שחלוף===
שיחלוף (באנגלית: transpose) של מטריצה כלשהי <math>A\in\mathbb{F}^{m\times n}</math> מסומן באופן הבא: <math>A^t</math> או <math>A^T</math> . מתקיים: <math>A^t\in\mathbb{F}^{n\times m}</math> (כלומר, הגודל של המטריצה התהפך) ו- <math>[A^t]_{i,j}=[A]_{j,i}</math> . כלומר, האברים מחליפים במקום שלהם בשורה והעמודה. לדוגמה: <math>\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}^t=\begin{pmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{pmatrix}</math> . זאת אומרת צריך לכתוב את שורות A במאונך משמאל לימין וככה נקבל את המטריצה המשוחלפת.
===קבוצה פורשת של מטריצה משוחלפת===
יהי <math>S=\left\{ \begin{pmatrix}1\\
2\\
3
\end{pmatrix}\right\} </math> ו-<math>V=\mathbb{R}^{3}</math>. נדרג את <math>\begin{pmatrix}1 & | & 1 & 0 & 0\\
2 & | & 0 & 1 & 0\\
3 & | & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1 & | & 1 & 0 & 0\\
0 & | & -2 & 1 & 0\\
0 & | & -3 & 0 & 1
\end{pmatrix}</math> לכן <math>span\left(\begin{pmatrix}1\\
2\\
3
\end{pmatrix}\right)=\left\{ \begin{pmatrix}x_{1}\\
x_{2}\\
x_{3}
\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{3}\mid\begin{cases}
-2x_{1}+x_{2}=0\\
-3x_{1}+x_{3}=0
\end{cases}\right\}
 
נמצא קבוצה פורשת של מטריצה משוחלפת:
תכונות השחלוף:{{ש}}
נכפיל <math> \begin{pmatrix}1 & 2 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\
x_{2}\\
x_{3}
\end{pmatrix}=0
\Rightarrow
x_{1}+2x_{2}+3x_{3}=0</math>
</math>
 
לאחר העברת אגפים<math>x_{1}=-2x_{2}-3x_{3}</math> נקבל <math>\left\{ \begin{pmatrix}-2t_{1}-3t_{2}\\
t_{1}\\
t_{2}
\end{pmatrix}\mid t_{1},t_{2}\in\mathbb{R}\right\} =span\left(\begin{pmatrix}-2\\
1\\
0
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-3\\
0\\
1
\end{pmatrix}\right).</math>
 
נגדיר <math>l_{1}\begin{pmatrix}x_{1}\\
x_{2}\\
x_{3}
\end{pmatrix}=-2x_{1}+2</math> ו-<math>l_{2}\begin{pmatrix}x_{1}\\
x_{2}\\
x_{3}
\end{pmatrix}=-3x_{1}+x_{3}</math>
 
<math>\left(l_{1},l_{2}\right)</math> בסיס של <math>\left\{ \begin{pmatrix}x_{1}\\
x_{2}\\
x_{3}
\end{pmatrix}\right\} ^{0}</math> דהיינו <math>span\left(\begin{pmatrix}1\\
2\\
3
\end{pmatrix}\right)=\left\{ x\in\mathbb{R}^{3}\mid\begin{cases}
l_{1}\left(x\right)=0\\
l_{2}\left(x\right)=0
\end{cases}\right\} .</math>.
===תכונות השחלוף:{{ש}}===
*<math>(A^t)^t=A</math>
*<math>(A+B)^t=A^t+B^t</math>