הסתברות/מבוא/המודל ההסתברותי: הבדלים בין גרסאות בדף

<math>\Bbbmathbb P</math> ממרחב המאורעות ל־<math>[0,1]</math> המקיימת את התכונות הבאות:

#ההסתברות של מרחב המדגם שווה 1, או <math>\Bbbmathbb{P}(\Omega)=1</math> – מפני שאנו מצפים שלניסוי ישנה תוצאה כלשהיא.

#לכל מאורע הסתברות אי־שלילית <math>\forall A\sube\Omega:0\le\Bbbmathbb{P}(A)\le1</math>

::<math>\forall A,B\sube\Omega,\ A\cap B=\varnothing\quad\implies\quad\Bbbmathbb{P}(A\cup B)=\Bbbmathbb{P}(A)+\Bbbmathbb{P}(B)</math>

#תכונת האדיטיביות צריכה להתקיים עבור כל [[w:קבוצה בת מניה|קבוצה בת מניה]] של מאורעות זרים: אם <math>A_1,A_2,A_3,\ldots,</math> הם מאורעות זרים, אז <math>\Bbbmathbb{P}\left(\bigcup_k A_k\right)=\sum_k\Bbbmathbb{P}(A_k)</math>

נגדיר את פונקציית ההסתברות: <math>\Bbbmathbb{P}(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{|A|}{6}</math>, כלומר הסיכוי למאורע המורכב ממספר תוצאות בסיסיות, הוא מספר התוצאות הבסיסיות חלקי 6.

#<math>|\Omega|=6</math>, אז <math>\Bbbmathbb{P}(\Omega)=\frac{|\Omega|}{|\Omega|}=1</math>.

#עבור כל מאורע <math>A</math> מתקיים <math>0\le\Bbbmathbb{P}(A)=\frac{|A|}{6}\le1</math>.

::<math>\Bbbmathbb{P}(|A\cup B|)=\frac{|A\cup B|}{6}=\frac{|A|}{6}+\frac{|B|}{6}=\mathbb{P}(|A|)+\mathbb{P}(|B|)</math>

שוב בניסוי הטלת הקוביה, נניח פונקציית הסתברות שעבור כל מאורע <math>A</math> נותנת את ההסתברות <math>\Bbbmathbb{P}(A)=\begin{cases}1&:1\in A\\0&:1\notin A\end{cases}</math>.

#<math>1\in\Omega</math>, אז <math>\Bbbmathbb{P}(\Omega)=1</math>.

#לכל שני מאורעות זרים <math>A,B</math> יש 3 אפשרויות: <math>1\in A,1\in B,1\notin A,B</math>. מבדיקה על כ"א מהאפשרויות <math>\Bbbmathbb{P}(|A\cup B|)=\Bbbmathbb{P}(|A|)+\Bbbmathbb{P}(|B|)</math>

בניסוי הטלת הקוביה, נגדיר את פונקציית ההסתברות: <math>\Bbbmathbb{P}(A)=\tfrac16</math> לכל מאורע בו <math>|A|=1</math>, וכן <math>\Bbbmathbb{P}(\{2,3\})=\frac12</math>.

נניח שנגדיר את <math>\Bbbmathbb{P}(A)</math>, עבור כל תוצאה בסיסית (כלומר לכל מאורע בעל גודל <math>|A|=1</math>) בצורה כלשהיא, ונגדיר בעקיפין הסתברות כל מאורע <math>B</math> על־פי סכום הסתברויות התוצאות הבסיסיות המרכיבות אותו, כלומר: <math>\forall B\sube\Omega\quad\Bbbmathbb{P}(B)=\sum_{A\sube B,|A|=1}\Bbbmathbb{P}(A)</math> .

#<math>\forall A\sube\Omega,|A|=1:0\le\Bbbmathbb{P}(A)\le1</math>

#<math>\sum_{A\sube\Omega,|A|=1}\Bbbmathbb{P}(A)=1</math>

איחוד מאורעות <math>A_k</math> זרים: <math>\Bbbmathbb{P}\left(\bigcup_{k=1}^nA_k\right)=\sum_{k=1}^n\Bbbmathbb{P}(A_k)</math>

:<math>\Bbbmathbb{P}(A\cup B)=\Bbbmathbb{P}(A)+\Bbbmathbb{P}(B)-\Bbbmathbb{P}(A\cap B)</math>

<math display=block>\begin{matrix}\Bbbmathbb{P}(A)=\Bbbmathbb{P}\bigl((A\setminus B)\cup(A\cap B)\bigr)=\Bbbmathbb{P}(A\setminus B)+\Bbbmathbb{P}(A\cap B)\\\Bbb{P}(B)=\Bbbmathbb{P}(B\setminus A)+\Bbbmathbb{P}(A\cap B)\\\Bbb{P}(A)+\Bbbmathbb{P}(B)-\Bbbmathbb{P}(A\cap B)=\Bbbmathbb{P}(A\setminus B)+\Bbbmathbb{P}(B\setminus A)+\Bbbmathbb{P}(A\cap B)\end{matrix}</math>

היות ששלושת המאורעות האחרונים זרים, סכום ההסתברויות שלהן הוא בדיוק הסתברות איחודן, דהיינו <math>\Bbbmathbb{P}(A\cup B)</math>.

<math>\Bbbmathbb{P}(A\cup B)\le\Bbbmathbb{P}(A)+\Bbbmathbb{P}(B)</math>.

<math>\Bbbmathbb{P}(A\cup B\cup C)=\Bbbmathbb{P}(A)+\Bbbmathbb{P}(B)+\Bbbmathbb{P}(C)-\Big[\Bbbmathbb{P}(A\cap B)+\Bbbmathbb{P}(B\cap C)+\Bbbmathbb{P}(A\cap C)\Big]+\Bbbmathbb{P}(A\cap B\cap C)</math>

<math>\Bbbmathbb{P}\left(\bigcup_{k=1}^nA_k\right)\le\sum_{k=1}^n\Bbbmathbb{P}(A_k)</math>

<math>A\sube B\ \implies\ \Bbbmathbb{P}(A)\le\Bbbmathbb{P}(B)</math>

לכל מאורע <math>A</math> ומשלימו <math>A^c=\Omega\setminus A</math>, נקבל תכונת המשלים: <math>\Bbbmathbb{P}(A^c)=1-\Bbbmathbb{P}(A)</math>