מתמטיקה תיכונית/גיאומטריה אוקלידית/משפטים בגאומטריה/מעגלים: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
החלפת הדף בתוכן "מתמטיקה זה חרא"
תגיות: החלפה חשד למילים בעייתיות blanking
אין תקציר עריכה
שורה 1:
==מעגל==
מתמטיקה זה חרא
'''הגדרה:''' אוסף של נקודות שמרחקן מנקודה קבועה (מרכז המעגל) שווה.
*שלוש נקודות הנמצאות על מעגל אחד אינן יכולות להימצא על ישר אחד.
*שלוש נקודות שאינן על ישר אחד קובעות מעגל אחד ויחיד.
 
===רדיוס===
[[קובץ:CIRCLE LINES HE.svg|ממוזער|250px|קטעים במעגל]]
הגדרה: רדיוס (r) הוא קטע המחבר בין מרכז המעגל לנקודה כלשהי על המעגל.
*במעגל כל הרדיוסים שווים.
*במעגל כל הקטרים שווים.
 
===מיתרים ===
'''הגדרה :''' מיתר הוא קטע המחבר בין שתי נקודות על המעגל.
 
משפטים :
*[[/למיתרים שווים מתאימות קשתות שוות/]] ולהפך [[/לקשתות שוות מיתרים שווים/]].
*[[/למיתרים שווים מתאימות זוויות מרכזיות שוות/]] ולהפך [[/לזוויות מרכזיות שוות יש מיתרים שווים/]]
* [[/אנך ממרכז המעגל אל המיתר חוצה את המיתר, הזווית המרכזית והקשת המתאימה/]]
**קטע החוצה את הזווית המרכזית של המיתר הוא אנך למיתר.
**קטע העובר דרך מרכז המעגל וחוצה מיתר, מאונך לו.
**קטע ממרכז המעגל החוצה את הקשת של המיתר אנך לו.
**אנך ממרכז המיתר עובר דרך מרכז המעגל.
* [[/מרחקו של מיתר מן המרכז הוא אורך האנך היוצא מהמרכז אל המיתר/]]
*[[/למיתרים שווים מרחק שווה ממרכז המעגל./]]
**מיתרים במעגל הנמצאים במרחקים שווים מהמרכז שווים זה לזה.
* אם מיתר אחד גדול ממיתר שני אז מרחקו מהמרכז יהיה קצר יותר ממרחקו של המיתר השני.
** מיתר שמרחקו מהמרכז קצר יותר ממרחקו של מיתר שני יהיה ארוך יותר מהמיתר השני.
* קטע העובר דרך קצהו של מיתר במעגל ויוצר איתו זווית השווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מצידו השני הוא גם משיק למעגל (לא לציטוט בבגרות)
 
===קוטר===
'''הגדרה:''' קוטר הוא המיתר האורך ביותר במעגל העובר דרך מרכז המעגל, וגודלו שווה לפעמיים גודל הרדיוס (2r).
*מרחק בין מיתר למרכז המעגל הוא אנך למיתר המגיע למרכז המעגל.
*ככל שמיתר קרוב יותר למרכז המעגל הוא גדול יותר, וקוטר הוא המיתר הגדול ביותר שיכול להווצר במעגל.
 
===קשת===
'''הגדרה:''' קשת היא נקטע על המעגל הכלוא בין שתי נקודות עליו (בד"כ הכוונה לקטע הקטן אלא אם צוין אחרת). גודלה של הקשת שווה לגודל הזווית הכלואה והמתאימה לאותה קשת.
*לקשתות שוות מתאימות זוויות מרכזיות שוות.
 
===זוויות במעגל===
====זווית מרכזית====
'''הגדרה:''' זווית שקדקודה הוא מרכז המעגל ושוקיה הם רדיוס.
*[[/זוית מרכזית שווה בגודלה לקשת עליה היא נשענת/]]
* לזוויות מרכזיות שוות מתאימות קשתות שוות.
* לזוויות מרכזיות שוות מתאימים מיתרים שווים.
 
====זווית היקפית====
הגדרה: זווית שקדקודה על המעגל ושוקיה הם מיתריה.
* זווית היקפית היא זווית הנמצאת על המעגל ונשענת על קשת במעגל.
*[[/זוית היקפית במעגל|זוית הקפית במעגל שווה למחצית הזוית המרכזית הנשענת על אותה קשת/]].
*[[/זוויות היקפיות הנשענת על אותה קשת (או על קשתות שוות) שוות זו לזו/]]
**לקשתות שוות מתאימות זויות הקפיות שוות.
*[[/זווית היקפית הנשענת על קוטר שווה ל-90 מעלות/]].
 
====זוויות נוספות====
* על מיתרים שווי גודל, נשענות זוויות היקפיות שוות.
* אנך מהמרכז למיתר במעגל חוצה את המיתר, חוצה את הזווית המרכזית המתאימה ואת הקשת המתאימה.
* זווית פנימית במעגל שווה לסכום שתי הזוויות ההיקפיות הנשענות על הקשתות הכלואות בין שוקי הזווית והמשכיהן.
* זווית פנימית שווה למחצית סכום הקשתות שנשענות על שוקי הזווית ועל המשכיהן.
* זווית חיצונית למעגל שווה למחצית ההפרש שבין שתי הזוויות ההיקפיות הנשענות על אותה קשת.
 
===משיקים למעגל===
'''הגדרה:''' משיק למעגל הוא ישר אינסופי הנוגע במעגל בנקודה אחת בלבד על המעגל ומאונך לרדיוסו.
*[[/רדיוס המעגל מאונך למשיק הנפגש איתו על המעגל/]].
** אם רדיוס מאונך לקטע על המעגל, הקטע משיק למעגל.
*[[/שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים באורכם/]] (מהנקודה המשותפת עד לנקודת ההשקה).
**[[/קטע המחבר קודקוד הזווית בין שני משיקים עם מרכז המעגל הוא חוצה זווית/]].
*[[/הזווית הנוצרת בין משיק למיתר שווה לזווית הקפית הנשענת על המיתר מצידו השני/]].
**משפט ההפוך :אם זווית הקפית ששווה לזוית בין המשיק למיתר אז המיתר משיק למעגל
*הקטע המחבר את שתי נקודות ההשקה של משיקים מקבילים הוא קוטר.
 
===פרופורציות במעגל===
[[תמונה:2chordscutf.png|left|thumb|100px|שני מיתרים החותכים זה את זה]]
*[[/נקודת החיתוך של שני מיתרים במעגל|שני מיתרים הנחתכים במעגל מחלקים זה את זה לשני קטעים כך, שמכפלת קטעי האחד שווה למכפלת קטעיו של השני.]]
*אם מנקודה אשר מחוץ למעגל עוברים שני חותכים למעגל אז מכפלת החותך האחד בחלקו החיצוני שווה למכפלת החותך השני בחלקו החיצוני.
*אם מנקודה אשר מחוץ למעגל עוברים חותך למעגל ומשיק למעגל מכפלת המשיק בעצמו שווה למכפלת חותך המעגל בחלקו החיצוני.
 
===שני מעגלים===
הגדרה: הקטע המחבר את מרכזיהם של שני מעגלים נקרא קטע מרכזים.
* מעגלים נחתכים - קטע המרכזים של שני מעגלים נחתכים, חוצה את המיתר המשותף ומאונך לו.
* מעגלים משיקים חיצונית ופנימית - קטע המרכזים של מעגלים משיקים חיצונית עובר בנקודת ההשקה, ושווה לסכום הרדיוסים של שני המעגלים.
* המשך קטע המרכזים של מעגלים משיקים פנימית עובר בנקודת ההשקה, ושווה להפרש הרדיוסים של שני המעגלים.
 
 
<gallery>
קובץ:Center of line segment.svg|AB קטע מרכזי אשר חוצה את הקטע המשותף
קובץ:Three "Kissing" Circles without Appolonian Circles.svg|נקודת ההשקה למעגלים המשיקים זה לזהפנימית וחיצונית.
</gallery>
 
===מעגל חוסם וחסום===
 
====מעגל חוסם משולש====
'''הגדרה:''' מעגל חוסם משולש הוא מעגל העובר בכל אחד מקדקודי המשולש.
*ניתן לחסום כל משולש במעגל.
*מרכז המעגל החוסם הוא נקודת המפגש של כל האנכים האמצעיים של המשולש.
**במשולש חד זווית: מרכז המעגל נמצא בתוך המשולש.
**במשולש ישר זווית: מרכז המעגל נמצא על היתר והוא מרכזו .
**במשולש קהה זווית: מרכז המעגל נמצא מחוץ למשולש.
*ניתן למצוא את מרכז המעגל ע"י הוכחה כי נקודה אחת היא נקודת מפגש של שני אנכים אמצעיים בלבד.
 
====מעגל חסום במשולש====
'''הגדרה:''' מעגל חסום במשולש הוא מעגל שכל צלעות המשולש משיקות לו.
*ניתן לחסום מעגל בכל משולש.
*מרכז המעגל החסום הוא נקודת המפגש של שלושת חוצי הזווית במשולש.
*ניתן להוכיח כי נקודה מסויימת היא מרכז המעגל החסום במשולש ע"י הוכחה כי נקודה אחת היא נקודת המפגש של שני חוצי זווית בלבד.
 
'''מעגלים:'''
* הרדיוסים של מעגלים החוסמים משולשים דומים מתייחסים זה לזה כיחס הצלעות המתאימות.
* הרדיוסים של מעגלים החסומים במשולשים דומים מתייחסים זה לזה כמו יחס הצלעות המתאימות.
 
====מעגל חוסם מרובע====
'''הגדרה:''' מעגל חוסם מרובע הוא מעגל העובר דרך כל הקדקודים של המרובע.בכדי שיהיה ניתן לחסום מרובע במעגל, במרובע חייב להתקיים אחד הכללים הבאים:
* כל זוג זוויות נגדיות במרובע חסום במעגל, סכומן 180 מעלות (סכום כל זוג זוויות נגדיות הוא 180 מעלות).
**[[מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/חורף, תש"ע (ניסוי)/035806/תרגיל 4]]
*אם במרובע כל ארבעת האנכים האמצעיים נפגשים בנק אחת, נק זו היא מרכז המעגל וניתן לחסום מרובע זה ע"י המעגל.
 
====מעגל חסום במרובע====
'''הגדרה:''' מעגל חסום במרובע הוא מעגל שכל צלעות המרובע משיקות לו. *בכדי שניתן יהיה לחסום מעגל במרובע, במרובע חייב להתקיים הכלל הבא:
* במרובע חוסם מעגל סכום זוג אחד של צלעות נגדיות שווה לסכום הזוג השני.
* מרובע שבו סכום זוג צלעות נגדיות שווה לסכום הזוג השני הוא מרובע חוסם מעגל.
 
====מצולע משוכלל חוסם וחסום מעגל====
*אם מחלקים מעגל למספר (n) קשתות שוות ומחברים את נקודות החלוקה בזו אחר זו מקבלים מצולע משוכלל בעל n צלעות.
* כל מצולע משוכלל אפשר לחסום במעגל.
* בכל מצולע משוכלל אפשר לחסום מעגל.
 
[[קטגוריה:גיאומטריה אוקלידית לתיכון]]