אלגברה לינארית/העתקות לינאריות: הבדלים בין גרסאות בדף

יהיו <math>V,W</math> מרחבים וקטוריים מעל <math>\mathbbBbb F</math> ותהי הפונקציה <math>T:V\to W</math> 0 (כלומר "העתקה <math>T</math> "לוקחת" מוקטוריםוקטורים ממרחב <math>V</math> מפעילהומפעילה עליהם פעולות כך שהם יוצגו ב-ב־<math>W</math>".)

:<math>T\left[\begin{pmatrixbmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrixbmatrix}\right]=\begin{pmatrixbmatrix}

*אדיטיביות: <math>\forall\ u\vec{v}_1,\vec{v}_2\in V:\ T(u\vec{v}_1+\vec{v}_2)=T(u\vec{v}_1)+T(\vec{v}_2)</math>

*הומוגניות: <math>\forall\alpha\in\mathbbBbb F,u\vec{v}\in V:\ T(\alpha u\vec{v})=\alpha T(u\vec{v})</math>

תהי <math>T:V\to W</math> פונקציה. <math>T</math> היא ה.ל אמ"מ <math>\forall\ u\vec{v}_1,\vec{v}_2\in V,\alpha\in\mathbbBbb F;:\ T(u\vec{v}_1+\alpha \vec{v}_2)=T(u\vec{v}_1)+\alpha T(\vec{v}_2)</math>

הוכחה: אם <math>T</math> ה.ל אזי <math>T(u\vec{v}_1+\alpha \vec{v}_2)=T(u\vec{v}_1)+T(\alpha \vec{v}_2)=T(u\vec{v}_1)+\alpha T(\vec{v}_2)</math>

בכיוון ההפוך, אם תנאי זה מתקיים, נקבל:

*<math>T(u\vec{v}_1+\vec{v}_2)=T(u\vec{v}_1+1v1\vec{v}_2)=T(u\vec{v}_1)+1T(\vec{v}_2)=T(u\vec{v}_1)+T(\vec{v}_2)</math>

*<math>T(\vec0_V)=T\bigl(\vec0_V+(-1)\vec0_V\bigr)=T(\vec0_V)-T(\vec0_V)=\vec0_W\ \rArr\ T(\alpha u\vec{v})=T(\vec0_V+\alpha u\vec{v})=\vec0_W+\alpha T(u\vec{v})=\alpha T(u\vec{v})</math>

היויהיו <math>V,W</math> מ"ו מעל שדה <math>\mathbbBbb F</math> . תהי <math>T:V\to W</math> ה.ל.

# <math>T(\vec0_V)=\vec0_W</math> כלומר העתקת האפס נותנת אפס.

#: הוכחה: <math>T\left(0_{V}\rightvec0_V)=T\left(0_{V}0_F\cdot0_{F}cdot\rightvec0_V)=0_{F}0_F\cdot T\left(0_{V}\rightvec0_V)=0_{W}\vec0_W</math>

# <math>T\left(-\vec{v\right})=-T(\left(vec{v\right})</math>

#:הוכחה: <math>T\left(-\vec{v\right})=T\left(-1\cdot \vec{v\right})=-1\cdot T(\left(vec{v\right})=-T(\left(vec{v\right})</math>.

# העתקה שומרת על צירופים לינאריים: לכל סדרת וקטורים <math>v_1\vec{v}_1,\ldots,v_n\vec{v}_n\in V</math> ולכל סדרת סקלרים <math>c_1,\ldots,c_n\in\mathbbBbb F</math> מתקיים
#:<math>T(c_1v_1c_1\vec{v}_1+\ldots+c_nv_nc_n\vec{v}_n)=c_1T(v_1\vec{v}_1)+\ldots+c_nT(v_n\vec{v}_n)</math> (ובקיצור: <math>T\left(\sum_{i=1}^nnc_i\alpha_iu_ivec{v}_i\right)=\sum_{i=1}^n\alpha_iTnc_iT(u_i\vec{v}_i)</math>)

#: הוכחה: <math>T(c_1\left(c_vec{1}v_{1v}_1+...c_\cdots+c_n\vec{nv}v_{n}\right_n)=T(c_1\left(c_vec{1v}v_{1}\right_1)+...\cdots+T(c_n\left(c_vec{nv}v_{n}\right_n)=c_{1}c_1T(\cdot T\left(v_vec{1v}\right_1)+...\cdots+c_{n}c_nT(\cdot T\left(v_vec{nv}\right_n)</math> ובקיצור <math>T\left(\sum_{i=1}^nnc_i\alpha_iu_ivec{v}_i\right)=\sum_{i=1}^nT(c_i\alpha_iu_ivec{v}_i)=\sum_{i=1}^n\alpha_iTnc_iT(u_i\vec{v}_i)</math>

תוכן= יהי מרחב ווקטורי מעל <math>V=\mathbb{F}^{1}Bbb F</math> ו-ו־<math> W=\mathbb{Bbb F}^{1}</math>. יהי <math>d\in\mathbbBbb{F}</math>.

נגדיר העתקה <math>T:V\to W</math> ע"י <math>T_{d}\leftT_d(v\right)=d\cdot vec{v}</math> לכל <math>\vec{v}\in V</math>.

<math>T_{d}T_d</math> היא ה".ל.

# <math>T_{d}T_d(\left(v_vec{1v}_1+v_\vec{2v}\right_2)=d(\cdot\left(v_vec{1v}_1+v_\vec{2v}\right_2)=d\cdot v_vec{1v}_1+d\cdot v_vec{2v}_2=T_{d}T_d(\left(v_vec{1v}\right_1)+T_{d}T_d(\left(v_vec{2v}\right_2)</math>

|שאלה=האם קיימת העתקה לינארית <math>T\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}=1, T\begin{bmatrix}1\\-1\\0\end{bmatrix}=2,T\begin{bmatrix}1\\-1\\1\end{bmatrix}=3</math> ?

'''אדטיביותאדיטיביות:''' <math>T\begin{bmatrix}1\\-1\\1\end{bmatrix}=T\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}+T\begin{bmatrix}1\\-1\\0\end{bmatrix}</math>

|שאלה=<math> \mathbb{Bbb F}=\mathbb{R}</math> ו-ו־<math>V=W=\R^{1}, T:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, T\left(x\right)=x^{2}</math> האם <math>T</math> העתקה לינארית?

<math>T</math> אינה העתקה ליניאריתלינארית כי לא מקיימת סגירות לחיבור <math>T\left(1+2\right)=3^{2}=9\ne5=1^{2}+2^{2}=T\left(1\right)+T\left(2\right)</math>.

|פתרון= נוכיח כי קבוצת הווקטורים הם בת"ל.