אלגברה לינארית/העתקה חד ערכית ועל: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן=יהי <math>V</math> מ"ו נוצר סופית, ו ו־<math>T:V\to V</math> ה"ל. <math>T</math> היא העתקה חח"ע אמ"מ <math>T</math> על.

# אם <math>T</math> חח"ע, אז <math>\ker (T)=\{0\vec0\}</math>, מכאן <math>\text{null }(T)=0</math>. מהמשפטממשפט המימדיםהממדים השני <math>\dim \bigl(\text{Im}(img) T)\bigr)=rk \text{rank}(T)=\dim (V)</math>. ומאחר ש ש־<math>img \text{Im}(T)</math> תת מרחבתת־מרחב של <math>V</math> מתקיים <math>img \text{Im}(T)=V</math>. כלומר <math>T</math> על.

# אם <math>T</math> על, אז <math>img \text{Im}(T)=V</math> ולכן <math>rk T=\dim\bigl(img\text{Im}(T) \bigr)=\text{rank}(T)=\dim (V)</math>. מהמשפט מתקיים <math>\text{null }(T)=0\vec0</math>. לכן <math>\ker (T)=\left\{ 0\rightvec0\}</math> ומכאן <math>T</math> חח"ע.}}

שם= אם העתקה היא חח"ע והפוכה|

תוכן= יהיו <math> V,W</math> מ"ו מעל <math>\mathbb{Bbb F}</math> נוצרים סופית, כך שעבורם <math>\dim V=\dim W</math> ו<math> ,T:V\to W</math>. התנאים הבאים שקולים:

# <math>\ker (T)=\left\{ 0\rightvec0\}</math> , כלומר <math>T</math> חח"ע.

# <math>img \text{Im}(T)=W</math>, כלומר <math>T</math> על.

#ל ל־<math>T</math> יש העתקה הפוכה.

* <math> 1\Rightarrow2 Rarr2, \ 2\Rightarrow1Rarr1</math> משפט המימדיםהממדים

*<math>3\Rightarrow1Rarr1, \ 3\Rightarrow2Rarr2</math> כי כל הפיכה היא חח"ע ועל