ויקיספר

אלגברה לינארית/איחוד של תתי מרחב: הבדלים בין גרסאות בדף

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
Ysd2018 (שיחה | תרומות)
574 עריכות
אין תקציר עריכה
אין תקציר עריכה
שורה 1:
{{משפט|
מספר=1|
שם=<math>U+W=\text{span}(U \cup W)</math>|
תוכן=
}}
שורה 9:
שם=איחוד של תתי מרחב אינו בהכרח תת מרחב|
תוכן=
משפט: יהי <math>V</math> מרחב ווקטורי, <math>U</math>,<math>W</math>, תת מרחביםתת־מרחבים של <math>V</math> כך ש-ש־<math>U</math> אינו מוכל ב-ב־<math>W</math> וגם <math>W</math> אינו מוכל ב-ב־<math>U</math>. אזי <math>U\cup W</math>. כלומר איחוד של תתי מרחבתת־מרחב אינו בהכרח תת מרחבתת־מרחב.
 
יהי <math>V</math> מ"ו מעל שדה <math>\mathbbBbb{F}, W_{1}W_1,W_{2}W_2</math> תת מרחב של <math>V</math> כך ש-ש־<math>W_{1}W_1,W_{2}W_2\ne V</math> אזי <math>W_{1}W_1\cup W_{2}W_2\ne V</math>. יהי <math>w_{1}w_1,w_{2}w_2\in vV</math> אזי אם:
 
# אם <math>w_{1}w_1=w_{2}w_2</math> או <math>w_{1}w_1\subsetsub w_{2}w_2</math> או <math>w_{2}w_2\subsetsub w_{1}w_1</math> אזי <math>W_{1}W_1=W_{2}W_2\ne V</math> או <math>w_{1}w_1\subsetsub w_{2}w_2\ne V</math> או <math> w_{2}w_2\subsetsub w_{1}w_1\ne V</math>
#אם <math>W_1,W_2</math> קבוצות זרות אזי מתקיים <math>w_1\in W_1\backslash W_2,w_2\in W_2\backslash W_1</math>.
:נניח בשלילה כי <math>w_{1}w_1+w_{2}w_2\in W_{1}W_1</math> אז על פי סגירות לחיבור מתקיים: <math>w_{1}w_1+w_{2}w_2\in w_{1}w_1\RightarrowRarr(w_{1}w_1+w_{2}w_2)-w_{1}w_1=w_{2}w_2\in W_{1}W_1</math> בסתירה לכך ש-ש־<math>w_{1}w_1\in W_{1}W_1\backslash W_{2}W_2</math> על כן, <math>w_{1}w_1+w_{2}w_2\subsetneqsube W_{1}W_1\cup W_{2}W_2</math> ולכן <math>W_{1}W_1\cup W_{2}W_2</math> אינו תת מרחב.▼
 
#דוגמא אםנגדית: <math>W_V=\R^2,U_1=\text{1span}\{e_1\}, W_U_2=\text{2span}\{e_2\}</math> קבוצותאז זרות אזי מתקיים ש-האיחוד <math>w_{1}U_1\incup W_{1}\backslash W_{2}U_2</math> ו-אינו סגור לחיבור כיוון ש־<math>w_{2}e_1+e_2\innotin W_{2}U_1\backslashcup W_{1}U_2</math>.
▲:נניח בשלילה כי <math>w_{1}+w_{2}\in W_{1}</math> אז על פי סגירות לחיבור מתקיים: <math>w_{1}+w_{2}\in w_{1}\Rightarrow(w_{1}+w_{2})-w_{1}=w_{2}\in W_{1}</math> בסתירה לכך ש-<math>w_{1}\in W_{1}\backslash W_{2}</math> על כן, <math>w_{1}+w_{2}\subsetneq W_{1}\cup W_{2}</math> ולכן <math>W_{1}\cup W_{2}</math>אינו תת מרחב.
 
דוגמא נגדית: <math>V=\R^{2}</math> ו <math>U_{1}=span\left(\left\{ e_{1}\right\} \right)</math> ו <math>U_{2}=span\left(\left\{ e_{2}\right\} \right)</math> אז האיחוד <math>U_{1}\cup U_{2}</math> אינו סגור לחיבור. כיוון ש <math>e_{1}+e_{2}\notin U_{1}\cup U_{2}</math>.
}}
 
אוחזר מתוך "https://he.wikibooks.org/wiki/אלגברה_לינארית/איחוד_של_תתי_מרחב"