אלגברה לינארית/דטרמיננטה: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Ysd2018 (שיחה | תרומות)
אין תקציר עריכה
אין תקציר עריכה
שורה 2:
מספר=1|
שם=פונקציה לינארית מתחלפת|
תוכן= [[אלגברה לינארית/פונקציה n ליניארית|פונקציה n ליניאריתn־לינארית]] <math>D:M_{nxnn\times n}(\mathbb{Bbb F}) \to\mathbb{Bbb F} </math> (אנו מסמניםנסמן את הפונקציה <math>n</math> לינארית ב-ב־<math>D</math> מאחר שבהמשך נראה כי היא מייצגת את הדטרמיננטה של המטריצה) נקראת מתחלפת כאשר לכל מטריצה <math>A</math> שיש לה שתי עמודות סמוכות זהות מתקיים <math>D\left(A\right)=0</math>.
}}
 
שורה 8:
מספר=2|
שם=פונקציה לינארית מתחלפת מנורמלת|
תוכן=פונקציה פונ' <math>n ליני'</math>־לינארית מתחלפת <math>D:M_{nxnn\times n}(\mathbb{Bbb F}) \to\mathbb{Bbb F} </math> נקראת מנורמלת כאשר <math>D\left(I_{n}\rightI_n)=1</math>.
 
'''הערה:''' כאשר <math>n=1</math> הפונקציה <math>D:M_{1x1n\times n}(\mathbb{Bbb F}) \to\mathbb{Bbb F}</math> המוגדרת ע"יעל־ידי <math> D=\left(1\right)</math> כלומר <math>D\left(a\right)=a </math> היא 1 ליניארית1־לינארית מתחלפת (באופן ריק) ומנורמלת.
}}
 
{{משפט|
מספר=1|
שם=פונקציה <math>n-1</math> ליניארית־לינארית, מתחלפת ומנורמלת גוררת פונקציה <math>n</math> ליניאריתלינארית, מתחלפת ומנורמלת|
תוכן= אם <math>D:M_{(n-1)x\times(n-1)}(\mathbb{Bbb F})\to\mathbb{Bbb F}</math> פונקציה <math>n-1</math> ליניארית־לינארית, מתחלפת ומנורמלת, <math>1\le i\le n
</math>
<math>\tilde{D_{i}}:M_{ nxn}(\mathbb{F})\to\mathbb{F}</math> מוגדרת באופן הבא:
עבור <math>A=\begin{pmatrix}a_{11} & \cdots& a_{1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix}</math> נגדיר
:<math>\tilde{D}_i(A)=(-1)^i\Big[-a_{i1}D(A_{i1})+a_{i2}D(a_{i2})+\cdots+(-1)^na_{in}D(A_{in})\Big]</math>
\\
כאשר <math>A_{ij}</math> היא מטריצה <math>(n-1)x\times(n-1)</math> המתקבלת מ מ־<math>A</math> ע"י מחיקהעל־ידי שלמחיקת השורה ה ה־<math>i</math> והעמודה ה ה־<math>j</math>. אז <math>\tilde{D}_{i}_i</math> היא פונ'פונקציה <math>n לינארית</math>־לינארית, מתחלפת ומנורמלת.
a_{n1} & & a_{nn}
\end{pmatrix}</math> נגדיר <math>\tilde{D_{i}}\left(A\right)=\left(-1\right)^{i}\left(-a_{i1}D\left(A_{i1}\right)+a_{i2}D\left(a_{i2}\right)+...\left(-1\right)^{n}a_{in}D\left(A_{in}\right)\right)
</math>
כאשר <math>A_{ij}</math> היא מטריצה <math>(n-1)x(n-1)</math> המתקבלת מ A ע"י מחיקה של השורה ה i והעמודה ה j. אז <math>\tilde{D}_{i}</math> היא פונ' n לינארית, מתחלפת ומנורמלת.
 
'''הוכחה''':
 
'''נוכיח כי <math>\tilde{D_{i}}</math> היא פונקציה n לינארית:'''
 
נראה כי לכל <math>1\le j\le n</math> הפונקציה <math>F(A)=a_{ij}D(A_{ij})</math> היא פונקציה n לינארית.
 
[<math>D(A_{ij})</math> היא פנקציה <math>n-1</math> ליניארית, כלומר לינארית לפי כל אחת מהעמודות של מטריצה<math>A_{ij}</math>.
 
''';הוכחה''':
העמודות של מטריצה <math>A_{ij}</math> הם עמודות של המטריצה המקורית,<math>A</math>, לאחר מחיקה של העמודה ה-<math>j</math>]
'''נוכיח כי <math>\tilde{D_{i}D}_i</math> היא פונקציה <math>n לינארית</math>־לינארית:'''
 
מאחרנראה ש-כי Dלכל פונקציה<math>1\le j\le n-1</math> לינארית,הפונקציה <math>F(A)=a_{ij}D(A_{ij})</math> כפונקציההיא של<math>A</math>לינארית לפי כל העמודות פרטפונקציה לעמודה ה-<math>jn</math>־לינארית.
 
[עתה כשכופלים את <math>D(A_{ij})</math> בסקלרהיא פונקציה <math>A_{ij}n-1</math>־לינארית, כךכלומר שנקבללינארית לפי כל אחת מעמודות מטריצה <math>F(A)=a_A_{ij}D(</math>. עמודות מטריצה <math>A_{ij})</math>,כל הביטויהן עדיןעמודות לינאריהמטריצה פרטהמקורית לעמודה ה-<math>jA</math>, לאחר מחיקת העמודה ה־<math>j</math>]
 
מאותהמאחר סיבהש־<math>D</math> שהוזכרהפונקציה לעיל<math>n-1</math>־לינארית,] לכן<math>D(A_{ij})</math> כפונקציה גםשל <math>F(A)</math> לינארית לפי כל העמודות פרט לעמודה ה-ה־<math>j</math>.
 
[עלעתה כןכשכופלים בכפל ביןאת <math> a_{ij}D(A_{ij})</math> ההשפעה עלבסקלר העמודה ה-<math>jA_{ij}</math>, תלויהכך לחלוטיןשנקבל בסקלר<math>F(A)=a_{ij}D(A_{ij})</math>, כלומרכל במטריצההביטוי עדין לינארי פרט לעמודה ה־<math>Aj</math>,ובמדויק, מאותה סיבה שהוזכרה לעיל]
 
לכן גם <math>F(A)</math> לינארית לפי כל העמודות פרט לעמודה ה־<math>j</math>.
בפונקציה לינארית לפי העמודה ה-<math>j</math> ב-Aולכן,] <math>A_{ij}</math> כפונקציה של<math>A</math> לינארי לפי העמודה ה-<math>j</math>, ומכאן
 
[על כן בכפל בין <math>a_{ij}D(A_{ij})</math> ההשפעה על העמודה ה־<math>j</math> תלויה לחלוטין בסקלר <math>A_{ij}</math>, כלומר במטריצה <math>A</math>, ובמדויק – בפונקציה לינארית לפי העמודה ה־<math>j</math> ב־<math>A</math>]
ש-<math>F(A)</math> לינארי לפי העמודה ה-<math>j</math>.
 
לכן <math>A_{ij}</math> כפונקציה של <math>A</math> לינארי לפי העמודה ה־<math>j</math>, ומכאן <math>F(A)</math> לינארי לפי העמודה ה־<math>j</math>.
על כן,<math> F(A)</math> היא n לינארית לכל <math>1\le j \le n</math> . מאחר שצירוף לינארי של פונקציות n לינאריות הוא פונקציה n
 
לינאריתעל כן <math>F(A)</math> היא <math>n</math>־לינארית לכל <math>1\le j \le n</math>. מאחר שצירוף לינארי של פונקציות <math>n</math>־לינאריות הוא פונקציה <math>n</math>־לינארית, אנו מסיקים כי גם <math>\tilde{D_{i}D}_i</math> היא <math>n </math> לינארית־לינארית.
 
'''נוכיח כי <math>\tilde{D_{i}}</math> היא מתחלפת'''