מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/קומבינטוריקה/הבינום של ניוטון ומשולש פסקל: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
יש מקום לשקול לאחד ולהעביר למקום אחד את כל הערכים העוסקים בסכימה.
אין תקציר עריכה
 
שורה 3:
==הבינום של ניוטון==
===הקדמה===
ודאי נתקלתם בעת לימודי האלגברה בנוסחה <math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2</math> . יתכן כי גם נתקלתם בנושא עבור חזקה שלישית: <math>(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3</math> .
 
מתעוררת השאלה האם קיימת נוסחה כללית לכל חזקה? כלומר, האם קיימת נוסחה המתארת לכמה שווה <math>(a+b)^n</math> ?
 
התשובה לשאלה זו היא חיובית. קיימת נוסחה הנקראת '''הבינום של ניוטון''' ("בינום" פירושו "דו איברדו־אבר", והמילה מכוונת לכך שבתוך הסוגריים מופיעים שני איבריםאברים). ראשית נציג את הנוסחה, ואחר כך נעבור להוכחה שלה.
 
נוסחת הבינום היא כדלהלן:
*<math>(a+b)^n=\binom{n}{0}a^nb^0+\binom{n}{1}a^{n-1}b^1+\cdots+\binom{n}{n-1}a^1b^{n-1}+\binom{n}{n}a^0b^n</math> .
 
כזכור, <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> . ביטוי זה נלמד בפרק העוסק בצירופים ונקרא שם "מקדם הבינום". כעת ברורה הסיבה לשם: הביטוי מופיע בתור המקדם המספרי לפני הגורמים <math>a,b</math> .
*<math>(a+b)^n=\binom{n}{0}a^nb^0+\binom{n}{1}a^{n-1}b^1+\cdots+\binom{n}{n-1}a^1b^{n-1}+\binom{n}{n}a^0b^n</math> .
 
כזכור, <math>\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> . ביטוי זה נלמד בפרק העוסק בצירופים ונקרא שם "מקדם הבינום". כעת ברורה הסיבה לשם: הביטוי מופיע בתור המקדם המספרי לפני הגורמים <math>a,b</math> .
 
===סימן הסיגמא===