מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה מעריכית/פונקצית e/הגדרת המספר e: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
בנציון יעבץ (שיחה | תרומות) |
||
שורה 11:
הפעם נציג כיצד בפועל גילו את ערך הנקודה. הרי הנתונים שהיו להם הם משיק העובר דרך גרף הפונקציה <math>a^x</math> בנקודה <math>(0,1)</math> וזוית בגודל <math>45^\circ</math> .
נגזור את הפונקציה ונקבל:
כעת נגזור את הפונקציה בנקודה x=0 ונקבל:
<math>\lim_{h\to 0}\frac{e^{0+h}-e^0}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{e^h-1}{h}</math>
כלומר הנגזרת של הפונקציה שווה לעצמה כפול הנגזרת בנקודה 0, שהיא 1.
נגזור פעמיים את הפונקציה:
<math>e^x>0</math> עבור כל x ולכן הפונקציה קעורה כלפי מעלה בכל נקודה.
נעביר משיק בנקודה (0,1). ידוע לנו ששיפועו 1 והמספר החופשי שלו (החיתוך עם ציר הy) גם הוא 1. כלומר משוואת המשיק היא:<math>y=x+1</math>.
מכיוון שהפונקציה קעורה כלפי מעלה, הרי המשיק נמצא מתחת לפונקציה. נקבל:
<math>x+1<e^x</math> לכל x. נציב את הפרמטרים <math>x=\frac{1}{n}</math> ו- <math>x=-\frac{1}{n+1}</math>:
* <math>e^{\frac{1}{n}}>1+\frac{1}{n}\Rightarrow e>\left(1+\frac{1}{n}\right)^n</math>
* <math>e^{-\frac{1}{n+1}}>1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}\Rightarrow e<\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n+1}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}\Rightarrow e<\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}</math> (הפכנו את הסימן כי העלינו בחזקה שלילית)
משני האי-שוויונים נקבל:
<math>\left(1+\frac{1}{n}\right)^n<e<\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}\Rightarrow e=\lim_{n\to \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n</math>
אם נציב <math>n=1,000</math> נקבל <math>1.001^{1000}<e<1,001^{1001}\Rightarrow 2.7169239322...<e<2.7196408568...\Rightarrow e\approx2.71</math>
[[קטגוריה:חשבון דיפרנציאלי לתיכון]]
| |||