חשבון אינפיניטסימלי/סדרות/סדרות מונוטוניות: הבדלים בין גרסאות בדף

אין תקציר עריכה
אין תקציר עריכה
אין תקציר עריכה
{{להשלים}}
סדרה '''מונוטונית''' הינה סידרה שהכיוון שלה קבוע, כלומר סדרה תהא מונוטונית אם היא רק עולה או רק יורדת.
{{קצרמר}}
נאמר על סדרה מונוטוניתכי הינההיא סידרה'''מונוטונית שהכיווןיורדת''' שלהאם קבוע,הכיוון כלומרהוא סדרהכלפי תהאמעלה, ו'''מונוטונית עולה''' אם היאהכיוון רקהוא עולהכלפי או רק יורדתמעלה.
 
'''דוגמאות:'''
הסדרה <math>a_n=e^n</math> היא מונוטונית עולה.
הסדרה <math>a_n=\frac{n+1}{n}</math> היא מונוטונית יורדת.
הסדרה <math>a_n=n^2</math> אינה מונוטונית.
 
==הוכחה כי סדרה היא מונוטונית==
===דרך אלגברית===
ניתן להוכיח כי סדרה היא מונוטונית (עולה או יורדת) בדרך אלגברית, באמצעות הוכחה כי <math>\forall h>0\forall n, a_n<a_{n+h}</math> או <math>\forall h>0\forall n,a_n>a_n+h</math>.
'''דוגמה:'''
הוכח כי הסדרה <math>a_n=\frac{n}{n+3}</math> היא מונוטונית עולה.
'''פיתרון'''
נכתוב <math>\frac{n}{n+3}<\frac{n+h}{n+h+3}</math>.
 
נקבל:
 
<math>\frac{n+3}{n}>\frac{n+h+3}{n+h}\Rightarrow 1+\frac{3}{n}>1+\frac{3}{n+h}\Rightarrow \frac{1}{n}>\frac{1}{n+h}\Rightarrow n<n+h</math>, מה שכמובן מתקיים לכל h חיובי.
 
===דרך דיפרנציאלית===
ניתן להוכיח כי סדרה היא מונוטונית באמצעות גזירתה והוכחה כי הנגזרת תמיד חיובית או תמיד שלילית.
'''דוגמה:'''
הוכח כי הסדרה <math>a_n=-n^3+\frac{1}{n}</math> היא מונוטונית עולה.
'''פיתרון'''
ניגזור את הסדרה:
 
<math>(a_n)'=-3x^2-\frac{1}{x^2}<0\ \ \ \ (\forall x)</math>
 
קיבלנו כי הנגזרת שלילית לכל x ולכן הסדרה היא מונוטונית יורדת.
{{קצרמר}}
[[קטגוריה:חשבון אינפיניטסימלי (ספר)]]
426

עריכות