חשבון אינפיניטסימלי/נגזרת/נגזרת של פונקציה הפיכה: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
בנציון יעבץ (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
||
שורה 4:
תהי <math>f</math> פונקציה מונוטונית ורציפה בקטע <math>I</math> , ותהי <math>x_0</math> נקודה פנימית בקטע זה. נסמן <math>y_0=f(x_0)</math> .
אם <math>f</math> גזירה ב- <math>x_0</math> , ואם <math>f'(x_0)\ne0</math> , אז הפונקציה
<math>y_0</math> ונגזרתה היא: <math>g'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)}</math>
'''הוכחה:'''
על פי הגדרת הפונקציה ההופכית מתקיים <math>g(y)=x\Rightarrow g(f(x))=x</math>.
כעת נגזור את שני האגפים ונקבל:
<math>g'(y)\cdot f'(x)=1\Rightarrow g'(y)=\frac{1}{f'(x)}</math>
'''דוגמאות'''
* הנגזרת של הפונקציה <math>f(x)=\sqrt{x}</math> היא <math>f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}</math> (הגדרנו את הפונקציה כפונקציה הופכית של הפונקציה <math>y^2</math>)
* הנגזרת של הפונקציה <math>f(x)=2x+1</math> היא <math>f'(x)=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2</math> (הגדרנו את הפונקציה כפונקציה הופכית של הפונקציה <math>\frac{y-1}{2}</math>)
[[קטגוריה:חשבון אינפיניטסימלי (ספר)]]
| |||