אלגברה לינארית/העתקות לינאריות: הבדלים בין גרסאות בדף

שם=העתקה לינארית (קריטריון מקוצר)|

תוכן=

:<math>T\begin{bmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}

a_{11}x_1&a_{12}x_2&\cdots&a_{1n}x_n\\a_{21}x_1&a_{22}x_2&\cdots&a_{2n}x_n\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}x_1+&a_{m2}x_2&\cdots&a_{mn}x_n\end{bmatrix}</math>

תיקרא העתקה לינארית (ובקיצור '''ה.ל''') אמ"מ מתקיימים התנאים הבאים:

*אדיטיביות: <math>\forall\ \vec{v}_1,\vec{v}_2\in V:\ T(\vec{v}_1+\vec{v}_2)=T(\vec{v}_1)+T(\vec{v}_2)</math>

 

{{הוכחה|

 

הוכחה: אם <math>T</math> ה.ל אזי <math>T(\vec{v}_1+\alpha\vec{v}_2)=T(\vec{v}_1)+T(\alpha\vec{v}_2)=T(\vec{v}_1)+\alpha T(\vec{v}_2)</math>

 

===תכונות של העתקה===

#<math>T(\vec0_V)=\vec0_W</math> כלומר העתקת האפס נותנת אפס.

#:הוכחה: <math>T(\vec0_V)=T(0_F\cdot\vec0_V)=0_F\cdot T(\vec0_V)=\vec0_W</math>

# <math>T(-\vec{v})=-T(\vec{v})</math>

#:הוכחה: <math>T(-\vec{v})=T(-1\cdot\vec{v})=-1\cdot T(\vec{v})=-T(\vec{v})</math>.

#:<math>T(c_1\vec{v}_1+\ldots+c_n\vec{v}_n)=c_1T(\vec{v}_1)+\ldots+c_nT(\vec{v}_n)</math> (ובקיצור <math>T\left(\sum_{i=1}^nc_i\vec{v}_i\right)=\sum_{i=1}^nc_iT(\vec{v}_i)</math>)

#:הוכחה: <math>T(c_1\vec{v}_1+\cdots+c_n\vec{v}_n)=T(c_1\vec{v}_1)+\cdots+T(c_n\vec{v}_n)=c_1T(\vec{v}_1)+\cdots+c_nT(\vec{v}_n)</math> ובקיצור <math>T\left(\sum_{i=1}^nc_i\vec{v}_i\right)=\sum_{i=1}^nT(c_i\vec{v}_i)=\sum_{i=1}^nc_iT(\vec{v}_i)</math>

מספר=1|

שם=העתקה לינארית|

 

נגדיר העתקה <math>T:V\to W</math> ע"י <math>T_d(v)=d\vec{v}</math> לכל <math>\vec{v}\in V</math>.

{{תרגיל

|מספר=2

|פתרון=

<math>T</math> אינה העתקה לינארית כי לא מקיימת סגירות לחיבור <math>T(1+2)=3^2=9\ne5=1^2+2^2=T(1)+T(2)</math>.