אלגברה לינארית/משפט ההחלפה של שטייניץ: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
ביטול גרסה 162204 של 147.161.13.133 (שיחה)
תגית: ביטול
אין תקציר עריכה
 
שורה 1:
===משפט ההחלפה של שטייניץ===
משפט: תהי <math>A\subseteqsube V</math> בת"ל, תהי <math>B</math> קבוצה פורשת סופית ל- ל־<math>V</math> , ויהי <math>u\vec a\in A</math> , אזי קיים .
<math>v\in (B-(A-\{u\}))</math> , כך ש- <math>(A-\{u\})\cup\{v\}</math> בת"ל.
 
אזי קיים <math>v\vec b\in (B-\setminus(A-\setminus\{u\vec a\}))</math> , כך ש-עבורו <math>(A-\setminus\{u\vec a\})\cup\{v\vec b\}</math> בת"ל.
הוכחה: נסדר את אברי <math>A</math> כך ש-u יהיה האחרון. נסמן <math>A=\{w_1,\ldots,w_m,u\}\ ,\ B=\{ v_1,\ldots,v_n\}</math>
מכיון ש- <math>B</math> פורשת, קיימים מקדמים כך ש- <math>u=\sum_{i=1}^n \beta_iv_i</math> .
 
===הוכחה===
אם כל אברי <math>B</math> הם צירופים לינאריים של אברי <math>A-\{u\}</math> , נקבל שלכל i, קיימים מקדמים כך ש- <math>v_i=\sum_{j=1}^m \alpha_{ij}w_j</math>
הוכחה: נסדר את אברי <math>A</math> כך ש-uש־<math>\vec a</math> יהיה האחרון. נסמן <math>A=\{w_1\vec{a}_1,\ldots,w_m\vec{a}_m,u\vec{a}\ },\ B=\{ v_1\vec{b}_1,\ldots,v_n\vec{b}_n\}</math>.
ולכן, <math>u=\sum_{i=1}^n(\sum_{j=1}^m \alpha_{ij})\beta_iw_j</math>
 
מכיון ש- ש־<math>B</math> פורשת, קיימים מקדמים כך ש-שעבורם <math>u\vec{a}=\sum_{i\,=\,1}^n \beta_iv_ibeta_i\vec{b}_i</math> .
בסתירה לכך ש- <math>A</math> בת"ל. לכן קיים <math>v\in B</math> שאינו צ"ל של <math>A-\{u\}</math> . לכן, ברור ש- <math>v\not\in A-\{u\}</math> , כלומר, <math>v\in (B-(A-\{u\}))</math>
 
אם כל אברי <math>B</math> הם צירופים לינאריים של אברי <math>A-\setminus\{u\vec a\}</math> , נקבל שלכל i,אזי קיימים מקדמים כך ש-שעבורם <math>v_i\vec{b}_i=\sum_{j\,=\,1}^m \alpha_{ij}w_j\vec{a}_j</math>
בגלל ש- <math>A</math> בת"ל, כל אחד מאברי <math>A-\{u\}</math> אינו צ"ל של קודמיו.
 
ולכן, <math>u\vec a=\sum_{i\,=\,1}^n\left(\sum_{j\,=\,1}^m \alpha_{ij}\right)\beta_iw_jbeta_i\vec{a}_j</math>, בסתירה לכך ש־<math>A</math> בת"ל.
בגלל ש- <math>v</math> אינו צ"ל של <math>A-\{u\}</math> , כל אחד מאברי <math>B-(A-\{u\})</math> אינו צ"ל של קודמיו, ולכן <math>B-(A-\{u\})</math> בת"ל.
 
בסתירה לכך ש- <math>A</math> בת"ל. לכן קיים <math>v\vec b\in B</math> שאינו צ"ל של <math>A-\setminus\{u\vec a\}</math> . לכן, ברור ש-כי <math>v\notvec b\innotin A-\setminus\{u\vec a\}</math> , כלומר, <math>v\vec b\in (B-\setminus(A-\setminus\{u\vec a\}))</math>.
 
בגלל ש-מהיות <math>A</math> בת"ל, כל אחד מאברי <math>A-\setminus\{u\vec a\}</math> אינו צ"ל של קודמיו.
 
בגלל ש- <math>v\vec b</math> אינו צ"ל של <math>A-\setminus\{u\vec a\}</math> , כל אחד מאברי <math>B-\setminus(A-\setminus\{u\vec a\})</math> אינו צ"ל של קודמיו, ולכן <math>B-\setminus(A-\setminus\{u\vec a\})</math> בת"ל.
 
===הקשר בין הגדלים===
{{משפט|
מספר=1|
שם=יהי <math>A\subseteqsube V</math> בת"ל ו- ו־<math>B\subseteqsube V</math> פורשת סופית. אזי <math>\# |B|\ge\# |A|</math> (# מסמן את מספר האברים).|
תוכן=
נסמן את <math>\# |B</math> ב- <math>|=n</math> . נניח בשלילה שקיימת <math>C=\{ u_1,\ldots,u_{n+1}\}\subseteqsube A</math> , אזי <math>C</math> בת"ל.
משפט:
 
נסמן את <math>\# B</math> ב- <math>n</math> . נניח בשלילה שקיימת <math>C=\{ u_1,\ldots,u_{n+1}\}\subseteq A</math> , אזי <math>C</math> בת"ל.
לפי משפט ההחלפה (אם נפעיל אותו על כל אברי C), נקבל שקיימת <math>D=\{w_1,\ldots,w_{n+1}\}\subseteqsube B</math> בת"ל, כאשר לכל <math>i\ne j</math> , <math>w_i\ne w_j</math> (כי כל אבר שונה מקודמיו).
 
אבל לא קיימים <math>n+1</math> אברים ב- ב־<math>B</math> , ולכן, לא קיימת <math>D\subseteqsube B</math> כך ש-שעבורה <math>\# |D|=n+1</math> , בסתירה.
}}