אלגברה לינארית/העתקה לינארית יחידה: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ החלפת קוד LaTeX מיושן mw:Extension:Math/Roadmap
אין תקציר עריכה
 
שורה 3:
מספר=1|
שם=קיומה של העתקה לינארית יחידה|
תוכן=יהייהיו <math>V,W</math> מרחבים וקטוריים מעל <math>\mathbbBbb F</math> ו־<math>v_1\mathbf{v}_1,\ldots,v_n</math> וקטורי\mathbf{v}_n\in הבסיס <math>V</math> ו-בסיס ו־<math>w_\mathbf{1w}_1,..\ldots,w_\mathbf{nw}_n\in W</math>.
 
אזי קיימת העתקה לינארית <math>T:V\to W</math> יחידה כךעבורה ש-<math>\forall1forall\ 1\le i\le n:\ T(v_i\mathbf{v}_i)=w_i</math> לכל <math> 1\le i\le nmathbf{w}_i</math>
 
{{הוכחה|
'''קיום:
'''
יהי <math>v\in V</math>. אזי קיימים <math>c_{1},..,c_{n}\in\mathbb{F}</math> כך ש-<math>v=c_{1}v_{1}+...+c_{n}v_{n}</math>
(כי <math>v_{1},..,v_{n}</math> בסיס).
 
''';(קיום:)
נגדיר העתקה: <math>T\left(v\right)=c_{1}w_{1}+...+c_{n}w_{n},\,\,\,t:V\to W
יהי <math>\mathbf{v}\in V</math>. אזי קיימים <math>c_{1}a_1,..\ldots,c_{n}a_n\in\mathbb{Bbb F}</math> כךעבורם ש-<math>\mathbf{v}=c_a_1\mathbf{1}v_{1v}_1+...\cdots+c_a_n\mathbf{n}v_{nv}_n</math>.
</math>
 
נגדיר העתקה: <math>T:V\to W,\quad T(\mathbf{v})=a_1\mathbf{w}_1+\cdots+a_n\mathbf{w}_n</math>
 
נוכיח כי T היא ה"ל:
* סגירות לחיבור : יהייהיו <math>\mathbf{u,v}\in V</math>,. אזי קיים צירוף לינארי של הבסיס <math>v=c_{1}v_{1}+...+c_{n}v_{n}</math> ו <math>u=d_{1}v_{1}+...+d_{n}v_{n}</math>.אזי מתקיים על פי סגירות לחיבור במ"ו :<math> u+v=\left(c_{1}+d_{1}\right)v_{1}+...+\left(c_{n}+d_{n}\right)v_{n}</math>
:<math>\begin{align}\mathbf{v}=a_1\mathbf{v}_1+\cdots+a_n\mathbf{v}_n\\\mathbf{u}=b_1\mathbf{v}_1+\cdots+b_n\mathbf{v}_n\end{align}</math>
:נבצע העתקה:<math>T\left(u+v\right)=\left(c_{1}+d_{1}\right)w_{1}+...+\left(c_{n}+d_{n}\right)w_{n}=\left(c_{1}w_{1}+...+c_{n}w_{n}\right)+\left(d_{1}w_{1}+...+d_{n}w_{n}\right)=T\left(v\right)+T\left(u\right)
:אזי מתקיים על פי סגירות לחיבור במ"ו:
</math>
:<math>\begin{align}\mathbf{v+u}&=(a_1+b_1)\mathbf{v}_1+\cdots+(a_n+b_n)\mathbf{v}_n\\T(\mathbf{u+v})&=(a_1+b_1)\mathbf{w}_1+\cdots+(a_n+b_n)\mathbf{w}_n\\&=(a_1\mathbf{w}_1+\cdots+a_n\mathbf{w}_n)+(b_1\mathbf{w}_1+\cdots+b_n\mathbf{w}_n)\\&=T(\mathbf{v})+T(\mathbf{u})\end{align}</math>
* סגירות לכפל: <math>T(cva\mathbf{v})=cTa\,T(\mathbf{v})</math> - בדיקה של האקסיומההאכסיומה השנייההשניה בדומה.
 
''';(יחידות:''')
אם <math>\mathbf{v=v}_i</math> אזי <math>a_1=\cdots=a_{i-1}=a_{i+1}=\cdots=c_n=0</math> ו־<math>a_i=1</math>.
 
אם <math>v=v_{i} </math> אז <math>c_{1}=...=c_{i-1}=c_{i+1}=...=c_{n}=0</math> ו-<math> c_{i}=1</math>. מכאן: <math>T(\left(v_mathbf{iv}\right_i)=0\cdot w_mathbf{1w}_1+...\cdots+0\cdot w_mathbf{w}_{i-1}+1\cdot w_mathbf{iw}_i+0\cdot w_mathbf{w}_{i+1}+...\cdots+0\cdot w_mathbf{nw}_n=w_\mathbf{iw}_i</math>
 
נניח בשלילה כי קיימת העתקה לינארית, נוספת <math>S:V\to W</math> נוספת שמקיימתהמקיימת <math>S\left(v_\mathbf{iv}\right_i)=w_\mathbf{iw}_i</math>. ניקחיהי <math>\mathbf{v}\in V</math>.
 
אזי קיימים <math>a_1,\ldots,a_n\in\Bbb F</math> עבורם
אז קיימים <math>c_{1},..,c_{n}\in\mathbb{F}</math> כך ש <math>v=c_{1}v_{1}+...+c_{n}v_{n}</math> אז <math>S\left(v\right)=S\left(c_{1}v_{1}+...+c_{n}v_{n}\right)=c_{1}\cdot S\left(v_{1}\right)+...+c_{n}\cdot S\left(v_{n}\right)=c_{1}w_{1}+...+c_{n}w_{n}
:<math>\begin{align}\mathbf{v}&=a_1\mathbf{v}_1+\cdots+a_n\mathbf{v}_n\\S(\mathbf{v})&=S(a_1\mathbf{v}_1+\cdots+a_n\mathbf{v}_n)\\&=a_1S(\mathbf{v}_1)+\cdots+a_nS(\mathbf{v}_n)\\&=a_1\mathbf{w}_1+\cdots+a_n\mathbf{w}_n\\&=T(\mathbf{v})\end{align}</math>
</math> ולכן <math> S=T</math>. כלומר ההעתקה הנדרשת הינה יחידה.
}}}}