ויקיספר

אלגברה לינארית/העתקות לינאריות: הבדלים בין גרסאות בדף

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
מ החלפת קוד LaTeX מיושן mw:Extension:Math/Roadmap
אין תקציר עריכה
שורה 10:
a_{11}x_1&a_{12}x_2&\cdots&a_{1n}x_n\\a_{21}x_1&a_{22}x_2&\cdots&a_{2n}x_n\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}x_1+&a_{m2}x_2&\cdots&a_{mn}x_n\end{bmatrix}</math>
תיקרא העתקה לינארית (ובקיצור '''ה.ל''') אמ"מ מתקיימים התנאים הבאים:
*אדיטיביות: <math>\forall\ \vecmathbf{v}_1,\vecmathbf{v}_2\in V:\ T(\vecmathbf{v}_1+\vecmathbf{v}_2)=T(\vecmathbf{v}_1)+T(\vecmathbf{v}_2)</math>
*הומוגניות: <math>\forall\alpha\in\mathbb F,\vecmathbf{v}\in V:\ T(\alpha\vecmathbf{v})=\alpha \,T(\vecmathbf{v})</math>
 
{{הוכחה|
תהי <math>T:V\to W</math> פונקציה. <math>T</math> היא ה.ל אמ"מ <math>\forall\ \vecmathbf{v}_1,\vecmathbf{v}_2\in V,\alpha\in\mathbb F:\ T(\vecmathbf{v}_1+\alpha\vecmathbf{v}_2)=T(\vecmathbf{v}_1)+\alpha \,T(\vecmathbf{v}_2)</math>
 
הוכחה: אם <math>T</math> ה.ל אזי <math>T(\vecmathbf{v}_1+\alpha\vecmathbf{v}_2)=T(\vecmathbf{v}_1)+T(\alpha\vecmathbf{v}_2)=T(\vecmathbf{v}_1)+\alpha \,T(\vecmathbf{v}_2)</math>
 
בכיוון ההפוך, אם תנאי זה מתקיים נקבל:
*<math>T(\vecmathbf{v}_1+\vecmathbf{v}_2)=T(\vecmathbf{v}_1+1\vecmathbf{v}_2)=T(\vecmathbf{v}_1)+1T1\,T(\vecmathbf{v}_2)=T(\vecmathbf{v}_1)+T(\vecmathbf{v}_2)</math>
*<math>T(\vec0_Vmathbf{0}_V)=T\bigl(\vec0_Vmathbf{0}_V+(-1)\vec0_Vmathbf{0}_V\bigr)=T(\vec0_Vmathbf{0}_V)-T(\vec0_Vmathbf{0}_V)=\vec0_Wmathbf{0}_W\ \rArr\ T(\alpha\vecmathbf{v})=T(\vec0_Vmathbf{0}_V+\alpha\vecmathbf{v})=\vec0_Wmathbf{0}_W+\alpha T(\vecmathbf{v})=\alpha \,T(\vecmathbf{v})</math>
}}
}}
שורה 26:
===תכונות של העתקה===
יהיו <math>V,W</math> מ"ו מעל שדה <math>\mathbb F</math>. תהי <math>T:V\to W</math> ה.ל.
#<math>T(\vec0_Vmathbf{0}_V)=\vec0_Wmathbf{0}_W</math> כלומר העתקת האפס נותנת אפס.
#:הוכחה: <math>T(\vec0_V)=T(0_F\cdot\vec0_V)=0_F\cdot T(\vec0_V)=\vec0_W</math>
# <math>T(-\vec{v})=-T(\vec{v})</math>
אוחזר מתוך "https://he.wikibooks.org/wiki/אלגברה_לינארית/העתקות_לינאריות"