תורת הקבוצות/עוצמות: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה
שורה 37:
 
'''הוכחה''': A בת מנייה אם ורק אם היא סופית או שעוצמתה <math>\aleph_0</math>. מכיוון שהיא אינה סופית, נסיק ש<math>|A|=\aleph_0</math>.
==קבוצות שאינן בנות מנייה==
'''משפט''': הקטע הפתוח <math>(0,1)</math> אינו בן מנייה.
 
'''הוכחה''': ברור שהקטע אינסופי, ונוכיח שאין פונקציה חד חד ערכית מקבוצת המספרים הטבעיים אליו. נניח בשלילה ש<math>f:\N\to(0,1)</math> חד חד ערכית ועל. כל מספר ממשי x בקטע יסומן <math>x=0.x_0x_1x_2...\ (\forall n\in\N,x_n\in\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\})</math>. נגדיר את המספר הבא <math>\forall n\in\N,a_n=\begin{cases}1&&f(n)_n=0\\0&&\mathrm{else}\end{cases}</math>. המספר <math>a</math> לא יכול להיות בתמונת הפונקציה f, כי אז יהי <math>f(n)=a</math>. מהגדרת a נובע ש<math>a_n\not=f(n)_n</math>, לכן <math>a\not=n</math>. מכאן שהפונקציה f אינה חד חד ערכית ועל, והקבוצה <math>(0,1)</math> אינה בת מנייה.
 
כעת נוכיח שקילויות בין קטעים שונים:
 
'''טענה א''': כל קטע פתוח בלתי מנוון (כלומר, יש בו יותר מאיבר אחד) שקול ל<math>(0,1)</math>.
 
'''הוכחה''': יהי <math>(a,b)</math> קטע פתוח בלתי מנוון. נגדיר את הפונקציה <math>f:(0,1)\to(a,b)</math> כך: <math>f(x)=(b-a)x+a</math>. נראה שזו פונקציה חד חד ערכית: <math>f(x)=f(y)\Rightarrow (b-a)x+a=(b-a)y+a\Rightarrow (b-a)x=(b-a)y\Rightarrow x=y</math>. נראה שהיא על: לכל <math>y\in(a,b)</math>, יהי <math>x=\frac{y-a}{b-a}</math>. מכיוון ש<math>a<y<b</math>, מתקיים <math>0<y-a<b-a</math>, ולכן גם <math>0<\frac{y-a}{b-a}<1</math>, כלומר <math>x\in(0,1)</math>.
 
'''טענה ב''': <math>(0,\infty)\sim(0,1)</math>.