תורת הקבוצות/עוצמות: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שורה 69:
 
'''הוכחה''': ממשפט [[תורת הקבוצות/פונקציות#משפטי עזר|2.2]], נקבל שאין פונקציה חד חד ערכית ועל בין <math>\N</math> ל <math>\mathcal{P}(\N)</math>. ברור שקבוצת החזקה אינסופית, לכן היא אינה בת מנייה.
 
'''משפט''': <math>\R\setminus\N\sim\R</math>.
 
'''הוכחה''': <math>\Z\setminus\N\sim\N</math> (<math>\Z\setminus\N</math> תת קבוצה של <math>\Z</math>, לכן היא בת מנייה, ובנוסף היא אינסופית). תהי <math>f:\Z\setminus\N\to\N</math> חד חד ערכית ועל (ניתן להגדיר אותה בקלות על פי <math>f(x)=-x+1</math>). נגדיר <math>g:\R\to\R\setminus\N</math> על פי <math>g(x)=\begin{cases}f(x)&&x\in\Z\\x&&x\in\R\setminus\Z\end{cases}</math>. ניתן לראות בקלות שזו פונקציה חד חד ערכית ועל.