תורת הקבוצות/עוצמות: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה
שורה 97:
# יהו <math>f:A\to B,g:B\to C</math> חד חד ערכיות. אז <math>g\circ f:A\to C</math> חד חד ערכית.
# קיימות הוכחות רבות למשפט, עליהן ניתן לקרוא [[w:משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין|כאן]]. נביא אחת מהן:
::נניח ש-<math>f</math> היא פונקציה חד-חד-ערכית מ-<math>A</math> ל-<math>B</math>, וש-<math>g</math> היא פונקציה חד-חד-ערכית מ-<math>B</math> ל-<math>A</math>. כמו כן נניח, [[ללא הגבלת הכלליות]] שהקבוצות <math>A</math> ו-<math>B</math> זרות (נובע ממשפט 3.1). נראה שקיימת התאמה חד-חד-ערכית ועל בין שתי הקבוצות. נבנה עבור כל איבר <math>a</math> של הקבוצה <math>A</math>, וכל איבר <math>b</math> של הקבוצה <math>B</math>, סדרת איברים מ-<math>A</math> ומ-<math>B</math> לסירוגין, כך שכל איבר מתקבל על ידי החלת הפונקציה החד-חד-ערכית המתאימה על האיבר שקודם לו:
 
::::''<math> \cdots \rightarrow f^{-1}(g^{-1}(a)) \rightarrow g^{-1}(a) \rightarrow a \rightarrow f(a) \rightarrow g(f(a)) \rightarrow \cdots </math>''
 
::נשים לב שניתן להמשיך את הסדרה ימינה ללא סוף, אך מאחר ש-<math>f^{-1}</math> ו-<math>g^{-1}</math> לא מוגדרות לכל איברי <math>B</math> ו-<math>A</math> בהתאמה, לא בהכרח ניתן להמשיך את הסדרה שמאלה עד אינסוף. הסדרות יכולות להסתיים משמאל באיבר של <math>A</math>, להסתיים משמאל באיבר של <math>B</math>, או להיות אינסופיות (או מעגליות) לשני הכיוונים. נסווג את הסדרות כ'''סדרות קצה-<math>A</math>''', '''סדרות קצה-<math>B</math>''' או '''סדרות ללא קצה''' בהתאמה. מכיוון ש-<math>f</math> ו-<math>g</math> הן פונקציות חד-חד-ערכיות, לכל איבר בכל אחת מהקבוצות קיימת רק סדרה אחת כזו עד כדי זהות: אם איבר מופיע בשתי סדרות, כל האיברים מימינו ומשמאלו חייבים להיות זהים בשתיהן. הסדרות יוצרות [[חלוקה (תורת הקבוצות)|חלוקה]] של ה[[איחוד (מתמטיקה)|איחוד]]האיחוד של <math>A</math> ו-<math>B</math>. לכן מספיק לבנות פונקציה חד-חד-ערכית ועל מ-<math>A</math> ל-<math>B</math> בכל אחת מהסדרות בנפרד, ואת שאר העבודה יעשה לנו משפט 3.1.
 
::כעת, נבנה את הפונקציה החד-חד-ערכית ועל <math>h</math> מ-<math>A</math> ל-<math>B</math>: עבור איברי <math>A</math> ששייכים לסדרת קצה-<math>A</math>, נגדיר את <math>h(a)</math> כ-<math>f(a) </math> (כלומר, נלך צעד אחד ימינה בסדרה המתאימה לאיבר). עבור איברי <math>A</math> ששייכים לסדרת קצה-<math>B</math>, נגדיר את <math>h(a)</math> כ-<math>g^{-1}(a)</math> (כלומר, נלך צעד אחד שמאלה בסדרה המתאימה לאיבר), ובאותו אופן נגדיר גם את <math>h</math> עבור איברי <math>A</math> ששייכים לסדרה ללא קצה. קל לראות שהפונקציה <math>h</math> היא אכן חד-חד-ערכית ועל.
 
את תכונת ההשוואה לא נוכיח בפרק זה, אלא רק בפרק על [[תורת הקבוצות/סודרים|סודרים]], שבו נגדיר במדויק את המושג עוצמה.