תורת הקבוצות/עוצמות: הבדלים בין גרסאות בדף

'''הוכחה''': יהו <math>f:A\to\N,g:B\to\N</math> חד חד ערכיות. נגדיר פונקציות <math>p:\N\to2\N,q:\N\to2\N+1</math> (<math>2\N=\{2n:n\in\N\}</math>, וכן <math>2\N+1=\{2n+1:n\in\N\}</math>) על פי <math>p(n)=2n,q(n)=2n+1</math>. שתי פונקציות אלו חד חד ערכיות, ותמונותיהן זרות, לכן נוכל להגדיר פונקציה <math>\psi:A\cup B\to\N</math> על פי <math>\psi(x)=\begin{cases}(p\circ f)(x)&&x\in A\\(q\circ g)(x)&&x\in B\setminus A\end{cases}</math>, שהיא גם כן חד חד ערכית. לכן <math>|A\cup B|=\aleph_0</math>.

 

 

'''הוכחה''': לכל n טבעי, תהי <math>f_n:A_n\to\N</math> חד חד ערכית. נגדיר את הפונקציה <math>f:\bigcup^\infty_{n=0}A_n\to\N</math> על פי <math>f(x)=p_n^{f_n(x)}</math> כאשר <math>x\in A_n</math> ו<math>p_n</math> הוא הראשוני הn. מתכונת הפירוק היחיד של המספרים הטבעיים, נקבל שf חד חד ערכית.