תורת הקבוצות/עוצמות: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שורה 106:
 
::התכונה היחידה אותה עוד לא הוכחנו היא ההשוואה, אותה לא נוכיח בפרק זה, אלא רק בפרק על [[תורת הקבוצות/סודרים|סודרים]], שבו נגדיר במדויק את המושג עוצמה.
{{הגדרה|שם=הסדר החזק על עוצמות|תוכן=נאמר כי <math>\kappa<\lambda</math>, אם ורק אם <math>\kappa\leq\lambda</math> וגם <math>\kappa\not=\lambda</math>.}}
נחזור על [[תורת הקבוצות/פונקציות#משפטי עזר על פונקציות|משפט שכבר הובא בספר זה]], בנוסח מעט אחר:
{{משפט|שם=משפט 2.2: משפט קנטור|לכל קבוצה <math>A</math> מתקיים <math>|A|<|\mathcal{P}(A)|</math>.}}
'''הוכחה''': נגדיר <math>g:A\to\mathcal{P}(A):g(x)=\{x\}</math> חד חד ערכית, לכן <math>|A|\le|\mathcal{P}(A)|</math>. נראה שלא קיימת פונקציה חד חד ערכית ועל בין הקבוצות. תהי <math>f:A\to\mathcal{P}(A)</math>, ונראה שהיא אינה על: נגדיר <math>D=\{x:x\not\in f(x)\}</math>. נניח בשלילה שקיים d כך ש<math>f(d)=D</math>. נשאל את השאלה: האם <math>d\in D</math>? אם <math>d\in D</math>, משמע ש<math>d\not\in f(d)=D</math>, לכן לא ייתכן <math>d\in D</math>. אם <math>d\not\in D</math>, אז <math>d\not\in f(d)</math>, לכן <math>d\in D</math>. לכן לא ייתכן <math>d\not\in D</math>, וקיבלנו סתירה. לכן <math>|A|\not=|\mathcal{P}(A)|</math>, ובסוף <math>|A|<|\mathcal{P}(A)|</math>.
 
'''מסקנה''': קיימות אינסוף עוצמות אינסופיות, ולכל עוצמה קיימת עוצמה גדולה ממנה.
{{משפט|שם=משפט 3.10.1: תכונות הסדר החזק על עוצמות|תוכן=הסדר החזק <math><</math> על עוצמות מקיים:
# '''אנטי רפלקסיביות''': <math>\forall\kappa,\kappa\not<\kappa</math>.
# '''א-סימטריה''': <math>\kappa<\lambda\Rightarrow\lambda\not<\kappa</math>.
# '''טרנזיטיביות''': <math>\kappa<\lambda\land\lambda<\mu\Rightarrow\kappa<\mu</math>.
# '''השוואה''': <math>\forall\kappa,\lambda:\kappa<\lambda\lor\lambda<\kappa\lor\kappa=\lambda</math>.}}
'''תרגיל''': הוכיחו את משפט 3.10.1
{{מוסתר|פתרון|2=
# <math>\kappa=\kappa\Rightarrow\kappa\not<\kappa</math>.
#<math>\kappa<\lambda\land\lambda<\kappa\Rightarrow\kappa\le\lambda\land\lambda\le\kappa\land\kappa\not=\lambda\Rightarrow\kappa=\lambda\land\kappa\not=\lambda</math>. סתירה.
# <math>\kappa<\lambda\land\lambda<\mu\Rightarrow\kappa\le\lambda\land\lambda\le\mu\Rightarrow\kappa\le\mu</math>. נניח ש<math>\kappa=\mu</math>. נקבל <math>\mu<\lambda\land\lambda<\mu</math>, מה שלא ייתכן, כי היחס א-סימטרי. לכן <math>\kappa<\mu</math>.
# לכל <math>\kappa,\lambda</math> מתקיים: <math>\kappa=\lambda\lor\kappa\not=\lambda\Rightarrow\kappa=\lambda\lor(\kappa\not=\lambda\land(\kappa\le\lambda\lor\lambda\le\kappa))\Rightarrow\kappa=\lambda\lor\kappa<\lambda\lor\lambda<\kappa</math>.}}