תורת הקבוצות/עוצמות: הבדלים בין גרסאות בדף

{{הגדרה|שם=הסדר החזק על עוצמות|תוכן=נאמר כי <math>\kappa<\lambda</math>, אם ורק אם <math>\kappa\leq\lambda</math> וגם <math>\kappa\not=\lambda</math>.}}

נחזור על [[תורת הקבוצות/פונקציות#משפטי עזר על פונקציות|משפט שכבר הובא בספר זה]], בנוסח מעט אחר:

'''הוכחה''': נגדיר <math>g:A\to\mathcal{P}(A):g(x)=\{x\}</math> חד חד ערכית, לכן <math>|A|\le|\mathcal{P}(A)|</math>. נראה שלא קיימת פונקציה חד חד ערכית ועל בין הקבוצות. תהי <math>f:A\to\mathcal{P}(A)</math>, ונראה שהיא אינה על: נגדיר <math>D=\{x:x\not\in f(x)\}</math>. נניח בשלילה שקיים d כך ש<math>f(d)=D</math>. נשאל את השאלה: האם <math>d\in D</math>? אם <math>d\in D</math>, משמע ש<math>d\not\in f(d)=D</math>, לכן לא ייתכן <math>d\in D</math>. אם <math>d\not\in D</math>, אז <math>d\not\in f(d)</math>, לכן <math>d\in D</math>. לכן לא ייתכן <math>d\not\in D</math>, וקיבלנו סתירה. לכן <math>|A|\not=|\mathcal{P}(A)|</math>, ובסוף <math>|A|<|\mathcal{P}(A)|</math>.