תורת הקבוצות/עוצמות: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
בנציון יעבץ (שיחה | תרומות) |
בנציון יעבץ (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
||
שורה 123:
# <math>\kappa<\lambda\land\lambda<\mu\Rightarrow\kappa\le\lambda\land\lambda\le\mu\Rightarrow\kappa\le\mu</math>. נניח ש<math>\kappa=\mu</math>. נקבל <math>\mu<\lambda\land\lambda<\mu</math>, מה שלא ייתכן, כי היחס א-סימטרי. לכן <math>\kappa<\mu</math>.
# לכל <math>\kappa,\lambda</math> מתקיים: <math>\kappa=\lambda\lor\kappa\not=\lambda\Rightarrow\kappa=\lambda\lor(\kappa\not=\lambda\land(\kappa\le\lambda\lor\lambda\le\kappa))\Rightarrow\kappa=\lambda\lor\kappa<\lambda\lor\lambda<\kappa</math>.}}
==אריתמטיקה של עוצמות==
===חיבור עוצמות===
{{הגדרה|שם=חיבור עוצמות|תוכן=יהו <math>|A|=\kappa,|B|=\lambda</math>, קבוצות זרות. נגדיר את הסכום של העוצמות כך: <math>\kappa+\lambda=|A|+|B|=|A\cup B|</math>.}}
בהגדרה זו יש שתי בעיות: א. מניין לנו שיש קבוצות זרות שעוצמותיהן <math>\kappa,\lambda</math>? ב. עלינו להראות שהחיבור לא תלוי בקבוצות שנבחרו. נפתור את הבעיה הראשונה: אם <math>|A|=\kappa,|B|=\lambda</math>, אז <math>|A\times\{0\}|=\kappa,|B\times\{1\}|=\lambda</math>, והקבוצות <math>A\times\{0\},B\times\{1\}</math> זרות.
'''תרגיל''': הראו שהחיבור לא תלוי בקבוצות שנבחרו.
{{מוסתר|פתרון|2=ממשפט 3.1 נקבל כי <math>|A|+|B|=|A\cup B|=|C\cup D|=|C|+|D|</math>.}}
===כפל עוצמות===
===חזקה של עוצמות===
| |||