תורת הקבוצות/עוצמות: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
בנציון יעבץ (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
בנציון יעבץ (שיחה | תרומות) |
||
שורה 129:
'''תרגיל''': הראו שהחיבור לא תלוי בקבוצות שנבחרו.
'''דוגמאות''':
* <math>|2\N|=|2\N+1|=\aleph_0</math>, לכן <math>\aleph_0+\aleph_0=|2\N\cup2\N+1|=|\N|=\aleph_0</math>.
* <math>|\R\setminus\N|=\aleph</math>, לכן <math>\aleph+\aleph_0=\aleph</math>.
{{מוסתר|פתרון|2=ממשפט 3.1 נקבל כי <math>|A|+|B|=|A\cup B|=|C\cup D|=|C|+|D|</math>.}}
{{משפט|משפט 3.11: תכונות החיבור|תוכן=החיבור מקיים את התכונות הבאות:
# '''קומוטטיביות''': <math>\kappa+\lambda=\lambda+\kappa</math>.
# '''אסוציאטיביות''': <math>\kappa+(\lambda+\mu)=(\kappa+\lambda)+\mu</math>. מעתה נסמן פשוט <math>\kappa+\lambda+\mu</math>.
# '''איבר אפס''': <math>\kappa+0=\kappa</math>.
# '''איזוטוניות''': <math>\kappa\le\lambda\Rightarrow\kappa+\mu\le\lambda+\mu</math>.}}
'''תרגיל''': הוכיחו את משפט 3.11.
{{מוסתר|פתרון|2=נגדיר <math>|A|=\kappa,|B|=\lambda,|C|=\mu</math>, כאשר כל הקבוצות זרות.
# <math>\kappa+\lambda=|A|+|B|=|A\cup B|=|B\cup A|=|B|+|A|=\lambda+\kappa</math>.
# <math>\kappa+(\lambda+\mu)=|A\cup(B\cup C)|=|(A\cup B)\cup C|=(\kappa+\lambda)+\mu</math>.
# <math>\kappa+0=|A\cup\empty|=|A|=\kappa</math>.
# תהי <math>f:A\to B</math> חח"ע. אז נגדיר <math>g:A\cup C\to B\cup C:g(x)=\begin{cases}f(x)&&x\in A\\x&&x\in C\end{cases}</math>.}}
===כפל עוצמות===
===חזקה של עוצמות===
| |||