תורת הקבוצות/עוצמות: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שורה 147:
 
===כפל עוצמות===
{{הגדרה|שם=כפל עוצמות|תוכן=יהו <math>|A|=\kappa,|B|=\lambda</math>. נגדיר את המכפלה <math>\kappa\cdot\lambda</math> (ובקיצור: <math>\kappa\lambda</math>), כך: <math>\kappa\cdot\lambda=|A\times B|</math>.}}
'''תרגיל''': הראו כי ההגדרה לא תלויה בקבוצות שנבחרו.
 
'''דוגמאות''':
* <math>\aleph_0\cdot\aleph_0=|\N\times\N|=\aleph_0</math>.
* <math>2\aleph_0=|\{0,1\}\times\N|=|\{0\}\times\N\cup\{1\}\times\N|=|\N|+|\N|=\aleph_0+\aleph_0=\aleph_0</math>.
{{מוסתר|פתרון|2=נניח כי <math>f:A\to C,g:B\to D</math> חח"ע ועל. נגדיר <math>h:A\times B\to C\times D</math> על פי <math>h(x,y)=(f(x),g(y))</math>. זוהי פונקציה חח"ע ועל, לכן <math>|A|\cdot|B|=|A\times B|=|C\times D|=|C|\cdot|D|</math>.}}
{{משפט|שם=משפט 3.12: תכונות הכפל|תוכן=פעולת הכפל מקיימת:
# '''קומוטטיביות''': <math>\kappa\lambda=\lambda\kappa</math>.
# '''אסוציאטיביות''': <math>\kappa(\lambda\mu)=(\kappa\lambda)\mu</math>. להבא נאמר פשוט <math>\kappa\lambda</math>.ץ
# '''דיסטריבוטיביות''': <math>\kappa(\lambda+\mu)=\kappa\lambda+\kappa\mu</math>.
# '''איבר יחידה''': <math>1\cdot\kappa=\kappa</math>.
# '''איבר מאפס''': <math>0\cdot\kappa=0</math>.
# '''איזוטוניות''': <math>\kappa\leq\lambda\Rightarrow\kappa\mu\le\lambda\mu</math>.}}
'''תרגיל''': הוכיחו את משפט 3.12.
{{מוסתר|פתרון|2=יהו <math>|A|=\kappa,|B|=\lambda,|C|=\mu</math>.
# נגדיר פונקציה <math>t:A\times B\to B\times A</math> על פי <math>t(x,y)=(y,x)</math>.ניתן לראות בקלות שהיא חח"ע ועל.
# נגדיר <math>f:A\times(B\times C)\to(A\times B)\times C</math> על פי <math>f(x,(y,z))=((x,y),z)</math>. ניתן לראות בקלות שהיא חח"ע ועל.
# <math>\kappa(\lambda+\mu)=|A|(|B|+|C|)=|A||B\cup C|=|A\times(B\cup C)|=|A\times B\cup A\times C|=|A\times B|+|A\times C|=|A||B|+|A||C|=\kappa\lambda+\kappa\mu</math>. (בסעיף זה הנחנו גם כי <math>B,C</math> זרות).
# נגדיר <math>f:\{0\}\times A\to A:f(0,x)=x</math>. קל לראות שהיא חח"ע ועל, לכן <math>1\cdot\kappa=|\{0\}\times A|=|A|=\kappa</math>.
# <math>0\cdot\kappa=|\empty\times A|=|\empty|=0</math>.
# נניח כי <math>f:A\to B</math> חח"ע. נגדיר <math>g:A\times C\to B\times C</math> על ידי <math>g(x,y)=(f(x),y)</math>. ניתן לראות בקלות שהיא חח"ע.}}
 
===חזקה של עוצמות===
{{תורת הקבוצות|מוגבל}}