תורת הקבוצות/עוצמות: הבדלים בין גרסאות בדף

תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שורה 29:
 
'''הוכחה''': נתבונן בקבוצה <math>\N\times\N</math>. נוכל למנות את איבריה כך: [[קובץ:Rationals.png|250px]] לכן <math>|\N\times\N|=\aleph_0</math>. המנייה המתוארת ניתנת לביטוי גם באמצעות הפונקציה: <math>\pi(k_1,k_2) := \frac{1}{2}(k_1 + k_2)(k_1 + k_2 + 1)+k_2.</math>. ראו הוכחה [[w:פונקציית זיווג#היפוך פונקציית הזיווג|כאן]] לכך שהפונקציה חד חד ערכית ועל. כעת, אם <math>f:A\to\N,g:B\to\N</math> חד חד ערכיות, אז הפונקצייה <math>\psi:A\times B\to\N</math> המוגדרת על פי <math>\psi(x,y)=\pi(f(x),g(y))</math> היא חד חד ערכית.
{{משפט|שם=משפט 3.5.1: מכפלה קרטזית סופית של קבוצות בנות מנייה|תוכן=אם לכל <math>0\le i\le n</math>, <math>A_i</math> בת מנייה, אז <math>\prod^n_{i=0}A_i</math> בת מנייה.}}
את משפט זה קל להוכיח באינדוקציה, ונוותר על ההוכחה כאן.
 
מסקנה של משפט זה היא שאם A בת מנייה, אז <math>A^n</math> בת מנייה, לכל n טבעי.
 
'''תרגיל''': הוכיחו כי קבוצת הסדרות אינסופיות של מספרים טבעיים (נסמן <math>\N^*</math>), הנעשות קבועות ממקום מסוים, היא בת מנייה.
{{מוסתר|פתרון|2=נסמן את קבוצת הסדרות הנעשות קבועות מהמקום הn ב<math>\N_n</math>. ניתן לזהות כל סדרה <math>(a_0,...,a_n,a_n,...)\in\N_n</math> עם הסדרה הסופית <math>(a_0,...,a_n)</math>. נקבל <math>|\N_n|=|\N^n|=\aleph_0</math>, כלומר <math>\N_n</math> בת מנייה. נקבל <math>\N^*=\N_0\cup\N_1\cup...=\bigcup^\infty_{n=0}\N_n</math> איחוד בן מנייה של קבוצות בנות מנייה, לכן היא בת מנייה.}}