תורת הקבוצות/עוצמות: הבדלים בין גרסאות בדף

'''הוכחה''': <math>A\setminus B=A\setminus(A\cap B)</math>, לכן מספיק להניח כי <math>B\subset A</math>. <math>A\setminus B</math> אינסופית, לכן תהי <math>C\subset A\setminus B</math> שעוצמתה <math>\aleph_0</math>. <math>C\cup B</math> איחוד של קבוצות בנות מנייה, לכן היא בת מנייה. תהי <math>h:B\cup C\to C</math> חד חד ערכית ועל. נגדיר <math>f:A\setminus B\to A</math> על ידי <math>f(x)=\begin{cases}h(x)&&x\in B\cup C\\x&&\text{else}\end{cases}</math>. משימה לקורא היא להראות שf חד חד ערכית ועל.

 

'''הוכחה''': נגדיר פונקציה <math>f:(0,1)\to\{0,1\}^\N</math>: את המספר <math>x\in(0,1)</math> נעביר לכתיב בינארי <math>x=0.x_0x_1x_2...</math> כאשר <math>x_i\in\{0,1\}</math>. מספר שממקום מסוים ואילך יש בו רק אחדות, ניתן להמיר במספר אחר באמצעות <math>0.x_0...x_n111...=0.x_0...x_n+0.\underbrace{00...0}_n11...=0.x_0...x_n+0.\underbrace{00...0}_{n-1}1</math>. כעת נגדיר <math>f(x)=f(0.x_0x_1x_2...)=(x_0,x_1,x_2,...)</math>. ניתן לראות שזו פונקציה חח"ע, לכן <math>(0,1)\sim\mathrm{Im}(f)</math>. אם נסמן את קבוצת הסדרות של אפסים ואחדות עם מופע של אחד ממקום מסוים והלאה או שכל הסדרה אפסים ב<math>\{0,1\}^{\N*}</math>, נקבל <math>|(0,1)|=|\{0,1\}^\N\setminus\{0,1\}^{\N*}|</math>. הקבוצה <math>\{0,1\}^{\N*}</math> היא תת קבוצה של <math>\N^*</math> - קבוצת הסדרות שנעשות קבועות ממקום מסוים, והיא אינסופית, לכן <math>|\{0,1\}^{\N*}|=\aleph_0</math>. נקבל: <math>|\{0,1\}^\N|=|(\{0,1\}^\N\setminus\{0,1\}^{\N*})\cup\{0,1\}^{\N*}|=|(0,1)\cup\N|=|(\R\setminus\N)\cup\N|=|\R|=\aleph

</math>. (השתמשנו במשפט 3.1, ובכך ש<math>|\R\setminus\N|=\aleph</math>)